j
)|θ⟩.
(38.10)
Здесь следует сделать два замечания. Очевидно, что справедливо равенство
∫
𝑑
4
x
∂
μ
⟨θ|T
∑
ƒ
q
ƒ
(x)γ
μ
γ
5
q
ƒ
(x)
∏
N
j
(x
j
)|θ⟩
=-
lim
q→0
iq
μ
∫
𝑑
4
x
e
iq⋅x
⟨θ|T
∑
ƒ
q
ƒ
(x)γ
μ
γ
5
q
ƒ
(x)
∏
N
j
(x
j
)|θ⟩.
Но если не существует U(1)-бозонов, то это вакуумное среднее не имеет полюса в точке q2 = 0, поэтому результат обращается в нуль. Далее, как было показано выше, введение в формулу оператора топологического заряда QK эквивалентно применению оператора дифференцирования i∂/∂θ. Таким образом, выражение (38.10) принимает вид
2ni
i
∂θ
⟨θ|T
∏
N
j
(x
j
)|θ⟩
=
⎧
⎩
χ
l
⎫
⎭
⟨θ|T
∏
N
j
(x
j
)|θ⟩.
(38.11)
Для случая безмассовых кварков вакуум инвариантен относительно киральных вращений:
|θ⟩=U
φ
|θ⟩, U
φ
=e
-iφQ̂0
;
(38.12)
с другой стороны, используя формулу (37.106), получаем
i
i
∂φ
U
-1
φ
∏
N
j
U
φ
=
⎧
⎩
χ
l
⎫
⎭
U
-1
φ
∏
N
j
U
φ
;
(38.13)
поэтому правую часть уравнения (38.11) можно переписать в виде
i
i
∂φ
⟨θ|T
∏
j
N
j
(x
j
)|θ⟩.
Таким образом, видно, что под действием оператора
2ni
∂
∂θ
-i
∂
∂θ
все функции Грина обращаются в нуль. Это означает, что изменение значения параметра θ может быть скомпенсировано изменением фазы φ. Следовательно, теория θ-вакуума эквивалентна теории с θ=0, а последняя, очевидно, обладает инвариантностью относительно киральных преобразований. Таким образом, в частном случае безмассовых кварков51) параметр θ можно выбрать равным нулю; тогда используемое нами выражение (38.1) для лагранжиана квантовой хромодинамики представляет собой в действительности выражение наиболее общего вида.
51) Бопее детальный анализ показывает, что достаточно, чтобы безмассовым был хотя бы один кварк. Этот результат впервые получен в работе [217].
Можно предположить, что кварки приобретают массу в результате слабых взаимодействий посредством механизма Хиггса, и следует допустить, что в "чистой" квантовой хромодинамике кварки безмассовы. Но нас интересует реальный физический мир, и, таким образом, нельзя избежать (по крайней мере в первом порядке теории возмущений) эффектов, обусловленных слабыми взаимодействиями и нарушающих исходные чисто квантовохромодинамические уравнения51а).
51а) Другая возможность состоит в использовании подходящих хиггсовских систем, обеспечивающих нулевое значение θ [217]. Можно показать, что это приводит к существованию новых псевдоскалярных бозонов ("аксионов", см. [261, 267]). Но нет достаточных данных, чтобы решить, существуют ли они в природе.
Другое возможное предположение связано с тем, что член ℒ1θ нарушает инвариантность по отношению к обращению времени и P-инвариантность. Таким образом, потребовав сохранения P- и T- инвариантности, мы можем положите значение параметра θ равным нулю. Но принять такую точку зрения также невозможно, потому что слабые взаимодействия нарушают T- и P- инвариантность и связанные с этим эффекты могут проявиться в процессах сильного взаимодействия. Если в этом состоит причина возникновения ненулевого значения параметра θ, то имеются довольно веские аргументы [108] в пользу того, что этот эффект мал при условии, что исходное значение параметра θQCD равно нулю.
Возможно, полезнее обсудить экспериментальные ограничения на значения параметра θ. Как показано в § 45, эффекты, связанные с лагранжианом ℒ1θ , в процессах типа глубоконеупругого рассеяния оказываются пренебрежимо малыми. Единственным источником, из которого можно получить информацию о значении параметра θ, являются процессы, нарушающие P- и T- инвариантность. При этом наиболее информативной величиной является дипольный момент нейтрона dn . Вычисления были выполнены dn в работе [33] в которой были уточнены оценки, данные ранее в статье [21]. Получено значение
d
n
≈4×10
-16
|θ| (in e - cm).
(в единицах e-см), в то время как экспериментальное ограничение на дипольный момент нейтрона составляет
d
exp
n
≤1.6×10
-24
,
откуда получаем |θ|≤10-8, т.е. очень малое значение.
Вернемся к рассмотрению проблемы вакуума. Эффекты, обусловленные наличием безмассовых кварков, мы уже обсудили. Теперь необходимо изучить следствия, к которым приводят нарушающие киральную инвариантность "малые" массовые члены. Например, что произойдет, по крайней мере в первом порядке теории возмущений по параметру ε (напомним, что массы кварков выражаются в виде mƒ=εrƒ, где коэффициент rƒ постоянен), при введении в лагранжиан возмущающего члена
∑
m
ƒ
q
ƒ
q
ƒ
.
Мы здесь не будем вдаваться в детальный анализ (заинтересованному читателю рекомендуется обратиться к лекциям [82]), а просто приведем основные результаты. Рассмотрим неравенство
m
-1
u
>
n
∑
ƒ=2
m
-1
ƒ
;
(38.14)
отметим, что из результатов, полученных в § 31, следует, что оно, вероятно, выполняется в реальном мире. Тогда: 1) если неравенство (38.14) справедливо, то топологический заряд квантуется и приобретает только целочисленные значения (например, разность v между двумя собственными значениями операторов K+ и K- представляет собой целое число); 2) если неравенство (38.14) несправедливо, то по меньшей мере существуют дробные значения величины ν. На самом деле для некоторых частных значений масс параметр ν должен принимать иррациональные значения.
