В качестве поверхности интегрирования выберем цилиндр с осью, расположенной вдоль оси времени, и основаниями, лежащими при t+→+∞ и t-→-∞ (рис. 29). Устремив размеры цилиндра к бесконечности, получим
Q
K
=
∫
𝑑
⃗
x
K
0
(t
+
→+∞,
⃗
x)
-
∫
𝑑
⃗
x
K
0
(t
-
→-∞,
⃗
x)
≡
K
+
-K
-
.
(38.4)
Операторы K± являются самосопряженными, переходящими друг в друга при обращении времени; поэтому их спектры совпадают. Обозначим их собственные векторы через |n±⟩≡|n, t±→±∞; они удовлетворяют уравнению
K
±
|n
±
=n|n
±
⟩.
(38.5)
В силу эрмитовости операторов K± физический вакуум можно разложить по собственным векторам этих операторов. Такое разложение имеет вид
|θ⟩=
∑
c
n
(θ)|n
+
⟩=
∑
c
n
(θ)|n
-
⟩;
(38.6)
коэффициенты cn в первом и во втором равенстве одни и те же. Действительно, вакуум инвариантен по отношению к временны́м трансляциям; поэтому его можно рассматривать при t=0. Тогда, применяя оператор обращения времени U(T), мы получаем, что коэффициенты cn в (38.6) одинаковы в обеих суммах. Теперь необходимо определить значения этих коэффициентов. Для этого применим оператор i∂/∂θ к функции Грина (вспомним формализм, развитый в § 2) и получим
i
∂
∂θ
⟨θ|T
∏
N
j
(x
j
)|θ⟩
=
i
∂
∂θ
⟨0|
∏
N
0
j
(x
j
)ε
i
∫
𝑑
4
x{ℒ
0
int
(x)+ℒ
0
1θ
(x)}
|0⟩
=
g²
32π²
∫
𝑑
4
x
⟨0|TG
̃
0
(x)G
0
(x)
∏
N
0
j
(x
j
)ε
i∫
𝑑
4
x
{ℒ
0
int
(x)+ℒ
0
1θ
(x)}
|0⟩
=
g²
32π²
∫
𝑑
4
x
⟨θ|TG
̃
(x)G(x)
∏
N
j
(x
j
)
|θ⟩.
(38.7)
Другими словами, оператор i∂/∂θ эквивалентен введению в формулу оператора топологического заряда QK. С учетом хронологического порядка операторов и формул (38.3) и (38.4) выражение (38.7) принимает вид
i
∂
∂θ
⟨θ|T∏N
j
(x
j
)|θ⟩
=
⟨θ|K
+
T∏N
j
(x
j
)|θ⟩
-
⟨θ|T∏N
j
(x
j
)K
-
|θ⟩.
Разлагая его в ряд по собственйым векторам операторов K± получаем уравнение50в)
50в) Более строгий вывод можно найти в работе [81]; в § 45 приведено альтернативное рассмотрение.
i
∂
∂θ
∑
n,m
c
*
n
(θ)c
m
(θ)=
∑
n,m
(n-m)c
*
n
(θ)c
m
(θ),
решения которого имеют вид
c
n
(θ)=Ce
inθ
.
(38.8)
Произвольная константа C может быть выбрана равной единице.
Следствием формулы (38.8) является ортогональность вакуумов, соответствующих разным значениям параметра θ:
⟨θ|θ'⟩=δ(θ-θ'),
(38.9)
так что с точностью до периода каждому значению θ отвечает свой, отличный от других физический мир.
До сих пор мы не учитывали существования фермионов. Теперь мы покажем, как изменяется проведенный выше анализ при введении в рассмотрение n фермионов с исчезающе малой массой. Начнем с того, что напишем снова знакомое нам тождество Уорда (37.12):
∂
μ
⟨θ|TÂ
μ
0
(x)
∏
j
N
j
(x
j
)|θ⟩
=-
⎧
⎨
⎩
∑
l
χ
l
δ(x-x
l
)
⎫
⎬
⎭
⟨θ|T
∏
j
N
j
(x
j
)|θ⟩,
которое мы проинтегрируем по 𝑑4x:
∫
𝑑
4
x
∂
μ
⟨θ|TÂ
μ
0
(x)
∏
j
N
j
(x
j
)|θ⟩
-
⎧
⎩
∑
χ
l
⎫
⎭
⟨θ|T
∏
j
N
j
(x
j
)|θ⟩.
Используя формулы (37.6) и (37.8), получим выражение
∫
𝑑
4
x
∂
μ
⟨θ|T
∑
ƒ
q
ƒ
(x)γ
μ
γ
5
q
ƒ
(x)
∏
j
N
j
(x
j
)|θ⟩
=
2n
∫
𝑑
4
x
⟨θ|TG
̃
(x)G(x)
∏
j
N
j
(x
j
)|θ⟩
-
⎧
⎩
∑
χ
l
⎫
⎭
⟨θ|T
∏
j
N
j
(x
