Определенный формулой (37.1) ток A0 инвариантен по отношению к калибровочным преобразованиям, но в киральном пределе не инвариантен по отношению к преобразованиям группы U(1) вследствие аномалии, содержащейся в выражении (37.2). Как было показано для абелевых групп в работе [7], а для общего случая в работе [25], можно построить другой, инвариантный относительно преобразований группы U(1) ток:
Â
μ
0
=
A
μ
0
-2nK
μ
,
(37.6)
где введен чисто глюонный ток
K
μ
=
2g²
32π²
ε
μνρσ
∑
B
aν
⎧
⎨
⎩
∂
ρ
B
aσ
+
1
3
ƒ
abc
B
bρ
B
cσ
⎫
⎬
⎭
.
(37.7)
В правильности этого выражения легко убедиться, заметив, что
∂
μ
K
μ
=
g²
32π²
G
̃
G
(37.8)
так что из формулы (37.2) в киральном пределе получаем
∂
μ
Â
μ
0
=0.
(37.9)
Следует отметить, что ток K, удовлетворяющий уравнению (37.8), определен неоднозначно, так как он зависит от используемой калибровки. В принципе выражение (37.6) записано для "голых" величин, но всегда можно провести перенормировку таким образом, что оно останется справедливым и для "одетых" величин. Конечно, причина состоит в том, что аномалия не перенормируется.
Генератором преобразований U(1) должен быть сохраняющийся ток, а именно ток Â0 . Следовательно, можно определить киралъностъ χ соотношением
δ(x
0
-y
0
)
⎡
⎣
Â
0
0
(x),N
j
(y)
⎤
⎦
=
-χ
j
δ(x-y)N
j
(y),
(37.10а)
или в интегральном виде
⎡
⎣
Q
̂
0
,N
j
=-χ
j
N
j
,
⎤
⎦
(37.10б)
где U(1)-киральный заряд имеет вид
Q
̂
0
=
∫
𝑑x
⃗
Â
0
0
(x).
(37.11)
Так как ток Â удовлетворяет уравнению (37.9), киральный заряд Q̂0 не зависит от времени, и, следовательно, можно ожидать, что не только соотношение (37.10) имеет смысл, но и числа χj не изменяются в процессе перенормировки. Чтобы доказать это более формально, рассмотрим вакуумное среднее
⟨vac|TÂ
μ
0
(x)
∏
j
N
j
(x
j
)|vac⟩,
и применим к нему оператор дифференцирования ∂μ . Мы получим тождество Уорда
∂
μ
⟨vac|TÂ
μ
0
(x)
∏
j
N
j
(x
j
)|vac⟩,
=-
⎧
⎨
⎩
∑
l
χ
l
δ(x-x
l
)
⎫
⎬
⎭
⟨vac|T
∏
j
N
j
(x
j
)|vac⟩;
(37.12)
при выводе мы использовали соотношения (37.9) и (37.10а). Так как ток Â (частично) сохраняется, то, как мы уже знаем, он не изменяется в процессе перенормировок, и величина χ также должна обладать этими свойствами. В § 38 будет показано, что соотношение (37.12) и отсутствие U(1)-бозонов приводят к довольно специфическим свойствам вакуума квантовой хромодинамики.
§ 38. Параметр θ, вакуум КХД, эффект безмассовых кварков и решение проблемы U(1)
До сих пор мы пользовались лагранжианом КХД (опуская члены, фиксирующие калибровку и описывающие вклад ду́хов)
ℒ=
∑
q
q
(i
D
-m)q-
1
4
GG.
(38.1)
Зададимся теперь вопросом: какие изменения возникнут при добавлении к лагранжиану (38.1) дополнительного члена
ℒ
1θ
=-
θg²
32π²
G
̃
G,
(38.2а)
так что полный лагранжиан имеет вид
ℒ
θ
=ℒ+ℒ
1θ
.
(38.2б)
В действительности последний член является единственным членом, совместимым с требованиями калибровочной инвариантности и перенормируемости, который может быть добавлен к лагранжиану (38.1). Кроме того, как было показано в § 37, он представляет собой 4-дивергенцию и, следовательно, не приводит к изменению уравнений движения. Конечно, от этого члена можно избавиться, положив параметр θ равным нулю, однако, хотя и есть указания на то, что значение параметра θ очень мало, существуют также причины, по которым оно может быть не равным нулю. Во всяком случае интересно выяснить следствия выбора более общего выражения (38.2) для лагранжиана КХД.
Так как мы добавили новое взаимодействие, следует ожидать, что теперь физический вакуум будет зависеть от значения параметра θ; поэтому мы будем использовать для него обозначение |θ⟩. Следующая наша задача состоит в исследовании зависимости функций Грина от параметра θ.
Для этого рассмотрим оператор топологического заряда50б)
50б)Бопее подробно о θ-вакууме и вопросах, обсуждаемых в этом параграфе, можно прочитать в § 43 — 45, где становятся ясными причины возникновения некоторых довольно специфических терминов.
Q
K
=
g²
32π²
∫
𝑑
4
x G
̃
G.
(38.3)
Используя формулу (37,8) и теорему Гаусса, запишем его в виде интеграла по поверхности
Q
K
=
∫
𝑑σ
μ
K
μ
.
Рис. 29. Область интегрирования при вычислении оператора топологического заряда.
