Отметим, что отображение F не обязательно должно быть линейным. Таким же образом мы будем трактовать и функционалы от нескольких функций F[ƒ,g,…]. Функционалы можно рассматривать как обобщение понятия обычной функции в следующем смысле. Разобьем пространство значений59) x на N ячеек, и пусть в каждой ячейке находится единственное значение xj. Тогда функционал F[ƒ] представляет собой предел, к которому стремится функция FN(ƒ1,…,ƒj,…), где ƒj≡ƒ(xj), при стремлении размера ячейки к нулю. Производная ∂FN/∂ƒj определяется формулой
59) Мы берем это пространство таким, что оно имеет конечный размер L. Иначе необходимо выполнить дополнительный предельный переход L→∞
∂FN(ƒ1,…,ƒj…)
∂ƒj
=
lim
ε→0
FN(ƒ1,…,ƒj+ε,…) - FN(ƒ1,…,ƒj,…)
ε
,
т.е. Она может быть получена сдвигом ƒi→ƒi+εδij. Поэтому мы определяем функциональную производную как предел
δF[ƒ]
δƒ(y)
=
lim
ε→0
F[ƒ+εδy]-F[ƒ]
ε
,
где δy есть δ-функция, обращающаяся в бесконечность в точке y: δy(x)=δ(x-y). Важный частный случай представляет собой функционал, задаваемый интегралом
F[ƒ]=
∫
𝑑x K
F
(x)ƒ(x);
тогда функциональная производная имеет вид
δF[ƒ]
δƒ(y)
=K
F
(y).
Понятие ряда Тейлора можно обобщить и на функциональные ряды. Если ядра Kn — симметричные (или антисимметричные в случае фермионных переменных ƒ) функции своих аргументов, то легко убедиться, что для функционала
F[ƒ]=
∞
∑
n=0
1
n!
∫
𝑑x
1
…𝑑x
n
K
n
(x
1
,…,x
n
)ƒ(x
1
)…ƒ(x
n
),
n-я функциональная производная имеет вид
K
n
(x
1
,…,x
n
)=
δnF[ƒ]
δƒ(x1)…δƒ(xn)
.
Процедурой, связанной с функциональной производной, является функциональное интегрирование. Функциональный интеграл определяется формулой
∫
∏
x
𝑑ƒ(x) F[ƒ]≡
lim
N→∞
∫
𝑑ƒ
1
…𝑑ƒ
N
F
N
(ƒ
1
,…,ƒ
N
).
Как и в случае функционального дифференцирования, процедура функционального интегрирования подчиняется правилам, аналогичным правилам выполнения обычного интегрирования. При функциональном дифференцировании и при функциональном интегрировании, чтобы учесть антикоммутационный характер функций ƒ, требуется некоторая модификация приведенных выше соотношений. Эта модификация описана в § 39.
Функциональные производные от выражений, не содержащих интегралы, можно найти, переписав их в интегральном виде. Например, легко вычислить функциональную производную, фигурирующую в формуле (41.9), для которой результат имеет вид
δ∂B
a
(x)
δB
ρ
b
(y)
=
δ
δB
ρ
b
(y)
∂
∂xμ
∑
c
∫
𝑑
4
z δ(z-x)δ
ac
B
μ
c
(z)
=
δ
ab
∂
∂xρ
δ(x-y).
Приложение И. Калибровочно-инвариантное произведение операторов
Интуитивно ясно, что в калибровочных теориях в выражениях, подобных выражениям, возникающим в методе операторного разложения:
q
(0)q(x)=
∑
xμ1…xμn
n!
q
(0)∂
μ1
…∂
μn
q(0),
обычные производные следует заменить на ковариантные производные: ∂μ→Dμ. Здесь мы кратко приводим формальное доказательство того, как возникают такие замены. В случае взаимодействующих полей их пропагаторы не являются пропагаторами свободных частиц. Например, пропагатор фермиона, помещенного в глюонное поле, удовлетворяет уравнению
(i
D
-m)S
int
(x,y)=iδ(x-y),
которое получается непосредственно из лагранжиана. Сохраняя только наиболее сингулярные члены (члены низшего твиста), решение этого уравнения можно записать в виде
S
int
(x,y)≈
⎧
⎨
⎩
P exp i
∫
x
y
𝑑z
μ
∑
t
a
B
μ
a
z
⎫
⎬
⎭
S(x-y),
где S - пропагатор свободного фермионного поля, а P — упорядочение вдоль траектории, соединяющей точки x и y. Если теперь выполнить операторное разложение, учитывая указанные обстоятельства, то окажется, что вместо произведения операторов q(x)q(y) возникает калибровочно-инвариантная комбинация
q
(x)
⎧
⎨
⎩
P exp i
∫
x
y
𝑑z
μ
∑
t
a
B
μ
a
(z)
⎫
⎬
⎭
q(y),
разложение которой в ряд в случае x≈Y и приводит к рассмотренным выше членам, содержащим вместо обычной ковариантную производную. Конечно, это справедливо и для операторов, построенных из глюонных полей. Дополнительные сведения о калибровочно-инвариантных произведениях операторов см. в статьях [106, 269].
Литература
Abad J., Humpert В., Phys. Lett., B77, 105 (1978).
Abarbanel H.D., Goldberger M.L., Treiman S.B., Phys. Rev. Lett., 22, 500, (1969).
Abbott L.F., Nucl. Phys., B185, 189 (1981).
Abbott L.F., Atwood W.B., Bamett R.M., Phys. Rev. D22, 582 (1980).
Abramowicz М., Stegun I.E., Eds. Handbook of Mathematical Functions. — New York: Dover, 1965 [Имеется перевод: Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами /Под ред. М.Абрамовица и И.Стиган. — М.: Наука, 1979.]
