Приведем значения некоторых определенных интегралов
∫
1
0
𝑑x log(1+x)=2log2-1
∫
1
0
𝑑x
log(1+x)
2
=
π²
12
.
Многие часто встречающиеся в приложениях интегралы можно вычислить, используя формулу Эйлера
∫
1
0
𝑑x x
α
(1-x)
β
=
Γ(1+α)Γ(1+β)
Γ(2+α+β)
.
Например, дифференцированием получаем отсюда следующие результаты:
∫
1
0
𝑑x x
α
log x=
1
(α+1)²
;
∫
1
0
𝑑x x
α
(1-x)
β
log x=[S
1
(a)-S
1
(1+α+β)]
Γ(1+α)Γ(1+β)
Γ(2+α+β)
,
∫
1
0
𝑑x
xα-1
1-x
=-S
1
(α),
∫
1
0
𝑑x x
α
log x log(1-x)=
s1(1+α)
(1+α)2
+
S2(1+α)
1+α
-
π²
6
⋅
1
1+α
;
∫
1
0
𝑑x x
α
log²x
1-x
=2ζ(3)-2s
3
(α),
∫
1
0
𝑑x
xα
1-x
log x log(1-x)=
π²
6
S
1
(α)-S
1
(α)S
2
(α)-S
3
(α)+ζ(3),
∫
1
0
𝑑x x
α
(1-x)
β
log x log(1-x)
=
Γ(1+α)Γ(1+β)
Γ(2+α+β)
⎧
⎨
⎩
S
2
(1+α+β)-
π²
6
+[S
1
(α)-S
1
(α+β+1)]
×
[S
1
(β)-S
1
(α+β+1)]
⎫
⎬
⎭
,
∫
1
0
𝑑x x
α
(1-x)
β
log²x
=
Γ(1+α)Γ(1+β)
Γ(2+α+β)
{[S
1
(α)-S
1
(α+β+1)]²+S
2
(α+β+1)-S
2
(α)}
и т.д.
Здесь использованы обозначения
S
l
(α)=ζ(l)-
∞
∑
k=1
[1/(k+α)
l
], l>1; S
l
(α)=
α
∑
j=1
(1/j
l
),
где α - положительное целое число, а l может принимать любые значения. Заметим, что S2(∞)=π²/6, Sl(∞)=ζ(l), где ζ — функция Римана. В случае l=1 приведенное выше выражение для функции можно представить в виде ряда
S
1
(α)=α
∞
∑
k=1
[1/(k+α)k]=
α
∑
j=1
(1/j),
где α - целое положительное число. Функция S1(α) представима в виде S1(α)=ψ(α+1)+γE, где ψ(z)=𝑑log(Γ(z))/𝑑z. Сведения о специальных функциях Γ, ψ, ζ см. в книге [5].
Приложение В. Теоретико-групповые соотношения
Для группы SU(3) генераторы tα определяются по формуле tα=λα/2, где матрицы λα имеют вид
λ
j
=
⎧
⎩
σ
j
0
0
0
⎫
⎭
, j=1,2,3; λ
4
=
⎧
⎪
⎩
0
0
1
0
0
0
1
0
0
⎫
⎪
⎭
; λ
5
=
⎧
⎪
⎩
0
0
-i
0
0
0
i
0
0
⎫
⎪
⎭
;
λ
6
=
⎧
⎪
⎩
0
0
0
0
0
1
0
1
0
⎫
⎪
⎭
; λ
7
=
⎧
⎪
⎩
0
0
0
0
0
-i
0
i
0
⎫
⎪
⎭
; λ
8
=
1
√3
⎧
⎪
⎩
1
0
1
0
-2
⎫
⎪
⎭
;
σ
1
=
⎧
⎩
0
1
1
0
⎫
⎭
, σ
2
=
⎧
⎩
0
-i
i
0
⎫
⎭
, σ
3
=
⎧
⎩
1
0
0
-1
⎫
⎭
.
Можно ввести матрицы Ca, матричными элементами которых являются структурные константы группы Cabc=-iƒabc=-iƒabc. Коммутационные соотношения для матриц Ca и ta имеют вид
[t
a
,t
b
]=i
∑
ƒ
abc
t
c
, [C
a
,C
b
]=i
∑
ƒ
abc
C
c
,
а антикоммутатор генераторов ta и tb имеет вид
{t
