A
(0)n+2j
NS
,
(25.3 а)
μ
(TMC)
NS
(x,Q²)
=
∫
1
0
𝑑x x
n-2
ƒ
(TMC)
²
(x,Q²) .
(23.5 б)
Функцию ƒ2 удобно определить как предел структурной функции ƒ(TMC)2 при m²N→0, а момент μ задать в виде
μ
NS
(n,Q²)
=
∫
1
0
𝑑x x
n-2
ƒ
2
(x,Q²) .
(25.4)
Полученные в § 24 уравнения применимы как раз к этим величинам μ и ƒ2 . Чтобы вычислить моменты с учетом поправок на массу мишени, используем выражение (25.3а) и получим
μ
(TMC)
NS
(n,Q²)
=
∞
∑
j=0
⎛
⎜
⎜
⎝
m
²
N
Q
²
⎞j
⎟
⎟
⎠
(n+j)!
j!(n-2)!
×
1
(n+2j)(n+2j-1)
μ
NS
(n,Q²);
(25.5)
однако вычислять моменты нет необходимости. После несложных выкладок можно найти, что выражение (25.5) эквивалентно следующему выражению (ξ-скейлингу):
ƒ
(TMC)
2
(n,Q²)
=
x
²
/ξ
²
(1+4x²m
²
N /Q²)3/2
ƒ
2
(ξ,Q²)
+
6m
²
N
Q
²
⋅
x
³
(1+4x²m
²
N /Q²)²
∫
1
ξ
𝑑ξ'
ξ'²
ƒ
2
(ξ',Q²)
+
12m
4
N
Q
4
⋅
x
4
(1+4x²m
²
N /Q²)5/2
∫
1
ξ
𝑑ξ'
×
∫
1
ξ
𝑑ξ''
ξ''²
ƒ
2
(ξ'',Q²),
(25.6)
где ξ — так называемая переменная Нахтмана:
ξ=
2x
1+(1+4x²m
²
N /Q²)½
(25.7)
Следует отметить некоторые особенности полученных формул. Во-первых, при малых значениях переменных x, поскольку поправки на массу мишени ведут себя как x²m²N/Q², ими можно полностью пренебречь. Эти поправки важны только при больших (но не слишком больших) значениях переменной x . В самом деле, если эти формулы применить к случаю x→1, то возникают неустойчивости. Это происходит по двум причинам. Во-первых, вклад операторов высших твистов (которые рассматриваются ниже) возрастает в пределе x→1. Хотя и ожидается, что обусловленные этими операторами поправки имеют вид 3M²/Q² , где M≈Λ, т.е. на половину порядка величины меньше, чем поправки на массу мишени, но могут происходить (и, вероятно, происходят) разного рода сокращения40а). Во-вторых, как было показано в § 23, в пределе x→1 теория возмущений неприменима.
40а) Обсуждение этого вопроса можно найти в работах [90,91]
Поэтому более последовательным, по-видимому, было бы разложить 25.6) в ряд по степеням величины m²N/Q² и сохранить только ведущий член. Выражение для поправок на массу мишени в этом случае упрощается и принимает вид
ƒ
TMC
(x,Q²)
=
ƒ(x,Q²)
+
x
²
N
Q
²
⎧
⎨
⎩
6x
∫
1
x
𝑑y
ƒ(y,Q²)
y²
-x
∂
∂x
ƒ(x,Q²)-4ƒ(x,Q²)
⎫
⎬
⎭
.
(25.8)
При этом КХД становится неприменимой, когда поправки второго порядка
∼
⎧
⎪
⎪
⎩
x³ν(α
s
)n
2
N
(1-x)Q
2
⎫²
⎪
⎪
⎭
велики. Другими словами, мы принимаем эту величину в качестве параметра, характеризующего допустимую ошибку вычислений: трудно утверждать, что следует учитывать поправки порядка m4N/Q4 и в то же время пренебрегать поправками порядка M²/Q².
§ 26. Непертурбативные эффекты в e+e--аннигиляции и операторы высших твистов в процессах глубоконеупругого рассеяния
Мы рассматриваем оба эти эффекта в одном параграфе потому, что, с нашей точки зрения, они связаны друг с другом. Начнем с обсуждения непертурбативных (нетеоретиковозмущенческих) эффектов. Как уже обсуждалось в § 15, для этого необходимо рассмотреть величину Πμν, входящую в выражение (15.4)
Рассмотрим хронологическое произведение
TJ
μ
(x)J
ν
(0)
с точки зрения операторного разложения. При малых x для него можно записать разложение по операторному базису, которое в импульсном пространстве с учетом обозначения Q²=-q² имеет вид
i
∫
𝑑x e
iq⋅x
TJ
μ
(x)J
ν
(0)
=
(-g
μν
q²+q
μ
q
ν
)
×
⎧
⎨
⎩
C
0
⎡
⎣
Q²/ν²,g(ν)
⎤
⎦
⋅1+
∑
ƒ
C
ƒ
