(q)=-iC
2
φ
∫
𝑑
D
k̂
Trγ
μ
S
s
(k)γ
ν
S
s
(k+q).
(36.6)
Рассмотрев только пертурбативную часть кваркового пропагатора Ss=SP, мы получили бы часть поляризационного оператора
Π
μν
P
(q)
=
8C
2
φ
n
c
6
⋅
1
16π²
(-g
μν
q
2
+q
μ
q
ν
)
×
(N
ε
-log q
2
+ конечные члены + O(m
2
s
)).
(36.7)
Непертурбативную часть поляризационного оператора мы получим, использовав в формуле (36.6) полное выражение для кваркового пропагатора Ss=SP+SNP . Ведущим является смешанный член
Π
μν
NP
=
-iC
2
φ
∫
𝑑
D
k̂
Tr{γ
μ
S
NP
(k)γ
ν
S
P
(k+q)
+
γ
μ
S
P
(k)γ
ν
S
NP
(k+q)},
(36.8)
где SNP описывается (в ведущем порядке) выражением (35.3), a SP(k)=i(k-ms). Выполняя необходимые вычисления, получаем
Π
μν
NP
=
-2C
2
φ
m
s
⟨
s
s⟩
vac
(-g
μν
q
2
+q
μ
q
ν
),
как уже было показано в формуле (36.4).
§ 37. Проблема U(1); глюонная аномалия
В § 33 в связи с распадом π0→γγ мы рассмотрели треугольную аномалию. Там отмечалось, что эта аномалия не ограничивается фотонами. В частности, имеется глюонная аномалия. Определив ток формулой
A
μ
0
=
n
∑
ƒ=1
q
ƒ
γ
μ
γ
5
q
ƒ
,
(37.1)
получим, что он также обладает аномалией
∂
μ
A
μ
0
=i
n
∑
ƒ=1
q
ƒ
γ
5
q
ƒ
+
ng²
16π²
G
̃
G,
(37.2)
где дуальный тензор G̃ удовлетворяет соотношениям
G
̃
μν
a
≡
½ε
μναβ
G
aαβ
,
G
̃
G
≡
∑
a
G
̃
μν
a
G
aμν
Ток (37.1) представляет собой так называемый U(1)-ток, необычный во многих отношениях (являющийся чистым синглетом по группе аромата). В частности, с ним связана так называемая проблема U(1), к обсуждению которой мы переходим.
Предположим, что имеется n легких кварков; рассмотрим только их, а возможным существованием тяжелых кварков (не относящихся к изучаемой проблеме) пренебрежем. Можно взять два легких кварка n=2(u,d) и обсуждать "проблему SU(2)U(1)" или три легких кварка n=3(u,d,s) и говорить о "проблеме SU(3)U(1)". Возьмем n²-1 матриц, действующих в пространстве ароматов λ1,…,λn2-1 . Для группы SU(3) они совпадают с матрицами Гелл-Манна, а для группы SU(2) - с матрицами Паули. Любую эрмитову матрицу размерности n×n можно выразить в виде комбинации n² матриц λ1,…,λn2-1, λ0≡1. Удобно принять, что индексы a, b, c пробегают ряд значений от 1 до n-1 а индексы α, β, δ принимают значения 0,1,…,n²-1. Благодаря только что сформулированному свойству полноты матриц λi достаточно рассмотреть токи
A
μ
α
=
∑
q
ƒ
γ
μ
γ
5
λ
α
ƒƒ'
q
ƒ'
;
из них, конечно, только ток A0 обладает аномалией. Пусть N1(x),…,Nk(x) — локальные операторы (простые или составные). Рассмотрим теперь величину
⟨vac|TA
μ
α
(x)
∏
j
N
j
(x
j
)|vac⟩
(37.3)
В случае α≠0 из теоремы Голдстоуна следует, что в киральном пределе массы псевдоскалярных частиц Pa , имеющих квантовые числа токов Aa , равны нулю. Вводя общий для всех кварковых масс параметр ε и полагая mƒ=εrƒ где коэффициент rƒ(ƒ=1,…,n) в киральном пределе остается постоянным, получаем
m
2
a
≡
m
2
Pa
≈ε.
(37.4)
Это было показано в § 31 (уравнения (31.4) и (31.5)). Следовательно, в этом пределе выражение (37.3) при α=a имеет полюс в точке q²=0. Точнее говоря, это означает, что в киральном пределе, т.е. при нулевых значениях масс кварков, справедливо равенство
lim
q→0
∫
𝑑
4
x
e
iq⋅x
∂
μ
⟨vac|TA
μ
α
(x)
∏
j
N
j
(x)
j
|vac⟩
≈(constant)q
μ
1
q²
.
(37.5)
Если пренебречь аномалиями, то вывод формулы (37.4) можно повторить и для случая α=0, откуда мы получили бы, что частица U(1) также в киральном пределе имеет нулевую массу [145]. В действительности это утверждение более точно сформулировано в работе [259], где получено неравенство m0≤√n. Это неравенство свидетельствует о неправильности всех наших построений, так как для группы SU(2) выполняется соотношение mη≫√2mπ . Для группы SU(2) масса mη' также нарушает это ограничение. В дополнение к этому было доказано [50], что при таких условиях распад η→3π и запрещен, что также противоречит эксперименту. Следовательно, нужно предположить, что выражение (37.3) для случая α=0 в пределе ε→0 остается регулярным. Если бы мы могли доказать это, мы бы решили проблему U(1). Этот вопрос подробнее обсуждается несколько ниже; здесь же мы просто предположим, что U(1)-бозонов не существует, не задаваясь вопросом, можно ли доказать это в рамках КХД. Совершенно очевидно, что, если бы не было аномалии, это предположение было бы противоречивым. Поэтому, возможно, полезно проследить, к каким результатам приводит одновременное отсутствие голдстоуновских бозонов P0 и наличие аномалии в токе A0. В решении этого вопроса мы следуем прекрасному обзору [82].
