§ 36. Массы адронов
Вместо обсуждения общего метода исследования проблемы масс адронов50а) мы рассмотрим один типичный пример, а именно вычисление массы φ-мезона. Рассмотрим с этой целью двухточечную функцию
50а) Метод, которому мы следуем, был предложен в работах Шифмана, Вайнштейна и Захарова [229, 230]. Дальнейшее развитие этот метод получил в работах тех же авторов, а также в статьях [223] и цитируемой там литературе. Недавно этот метод был распространен на барионы (см. [171] и Chung J. et al., Heidelberg, preprint, 1981). Дальнейшие сведения о методе правил сумм, подобном описываемому здесь, см. в превосходном обзоре [209].
Π
μν
φ
(q)
=
i
∫
𝑑
4
x
e
iq⋅x
⟨Tφ
μ
(x)φ
ν
(0)⟩
vac
≡
(-g
μν
q
2
+q
μ
q
ν
)Π
φ
(q
2
),
(36.1)
где φμ - оператор с квантовыми числами, аналогичными квантовым числам φ-мезона; он имеет вид
φ
μ
(x)
=
C
φ
s
(x)γ
μ
s(x).
Константу Cφ можно получить из анализа процесса φ→e+e-, но мы здесь не будем обсуждать этот вопрос. Функция Π(q²) ведет себя как log q²; следовательно, любая ее производная
𝑑NΠφ(q²)
(𝑑q²)N
≡
Π
(N)
φ
(q²)
при N≥1 удовлетворяет дисперсионным соотношениям без какого-либо дополнительного вычитания. При значениях |q²| вблизи m²φ можно аппроксимировать функцию Π(N)(q²) единственным резонансом — φ-мезоном. Таким образом, можно написать приближенное выражение
Π
(N)
φ
(q²)≈
N!a
(m
2
φ
-q²)
N+1
.
Взяв отношение двух последовательных производных, находим
r
φ
(q
2
)
≡
Π
(N)
φ
(q²)
Π
(N+1)
φ
(q²)
≈
1
N+1
(m
2
φ
-q²).
(36.2)
Если вычислить производную Π(N)φ в рамках квантовой хромодинамики и использовать пертурбативные значения масс кварков, то получим
Π
(N)
φ
(q²)
≈
3C
2
φ
12π
2
(N-1)!
1
(-q²)N
⎧
⎨
⎩
1+
m̂
2
s
q
2
+O[α
s
(-q
2
)]
⎫
⎬
⎭
.
(36.3)
Но полученное выше значение m̂s не удовлетворяет соотношению (36.2) при физическом значении массы φ-мезона. Это показывает, что существенную роль играют непертурбативные вклады. Проще всего их учесть, использовав вычисления непертурбативных частей кваркового S и глюонного D пропагаторов, выполненные в § 35. В низшем порядке теории возмущений по константе связи αs необходимо учесть лишь выражения (35.3) и (35.6) . Тогда формула (36.3) принимает следующий вид:
Π
(N)
φ
(q²)
≈
3C
2
φ
12π
2
(N-1)!
1
(-q²)N
⎧
⎨
⎩
1+
m̂
2
s
q
2
-
4π
2
N(N+1)
q
4
m
s
⟨
s
s⟩
vac
-
3πN(N+1)
8q4
⟨α
s
G
2
+O(α
s
)+O(q
-6
)
⎫
⎬
⎭
.
(36.4)
Мы видим, что в пределе -q²/N→∞ существенный (фактически главный) вклад в массу φ-мезона возникает от вакуумного среднего ⟨αsG2. Таким образом, оказывается возможным в некотором смысле воспроизвести массы ρ, ω, φ,…, используя "конституентные" массы, имеющие величину порядка ⟨αsG2⟩¼. Мы не будем более углубляться в этот вопрос, а сделаем лишь два замечания. Во-первых, использование "конституентных" масс в лучшем случае является грубым приближением. Это обусловлено тем, что вклад вакуумного среднего ⟨αsG2⟩ зависит от спина операторов (в нашем примере от спина оператора φμ), с которыми оно связано; в общем случае этот вклад оказывается различным для разных частиц типа ρ-- и ƒ0-мезонов. Во-вторых, в настоящее время выполнены вычисления более чем 50 адронных масс и параметров. Достигнутое согласие с экспериментом кажется впечатляющим, если вспомнить, что для этого требуется весьма ограниченное число параметров — массы кварков (u, d, s, c и b), параметр Λ и значения вакуумных средних ⟨αsG2⟩ и ⟨qq⟩. При этом последние три параметра могут быть взяты из других источников.
В заключение этого параграфа приведем пример конкретного вычисления непертурбативного вклада, а именно вклада в поляризационный оператор Πμνφ(q), обусловленного кварковым конденсатом ⟨ss⟩. Из формулы (36.1) имеем
Π
μν
φ
(q)=iC
2
φ
∫
𝑑
4
x
e
iq⋅x
⟨T
s
(x)γ
μ
s(x)
s
(0)γ
ν
s(0)⟩
vac
.
(36.5)
Таким образом,
Π
μν
φ
