𝑑t(pq̇-H).
(39.5)
Конечно, это выражение написано формально51б) и имеет смысл только как предел выражения (39.3), но в этом отношении оно не очень сильно отличается от стандартного римановского определения обычного интеграла. Важная особенность выражения (39.5) состоит в том, что в него входят только классические c-числовые функции. Таким образом, сложные операторные вычисления мы свели к вычислениям функциональных интегралов.
51б) Строгое определение функциональных интегралов типа (39.5) см. в работе [2б4]
Выражение (39.5) можно упростить. Если гамильтониан H имеет вид H=p²/(2m)+V(q), то интеграл по импульсам 𝑑p оказывается гауссовым, и его можно вычислить точно. Производя замену переменной p→p-mq̇, получаем
∫
∏
t
𝑑p(t)
2π
exp i
∫
𝑑t
⎧
⎩
pq̇-
p²
2m
⎫
⎭
=
∫
∏
t
𝑑p(t)
2π
exp
⎧
⎩
-i
∫
𝑑t
p²(t)
2m
⎫
⎭
exp
⎧
⎩
i
∫
𝑑t
mq̇²(t)
2
⎫
⎭
;
следовательно, выполняя интегрирование, находим
⟨q''|e
-i(t''-t')Ĥ
|q'⟩
=N
∫
∏
t
𝑑q(t) exp i
∫
q'',t''
q',t'
𝑑t L[q(t),q̇(t)].
(39.6)
При этом разность mq²-V отождествляется с лагранжианом L, и вводится нормировочный множитель N, не зависящий от динамики взаимодействий:
N=
∫
∏
t
𝑑p(t)
2π
exp
⎧
⎨
⎩
-i
∫
𝑑t
p²(t)
2m
⎫
⎬
⎭
.
Обобщение выражения (39.6) на случай нескольких степеней свободы очевидно. Будем использовать обозначение q(t,k) вместо обозначения qk(t), k=1,…,n, имея в виду применение полученных формул в теории поля, где число степеней свободы бесконечно. Лагранжиан L (плотность лагранжевой функции) определим формулой L=∑lℒ. Используя введенные обозначения, получим
⟨q''|e
-i(t''-t')Ĥ
|q'⟩
=
N
∫
∏
t,k
𝑑q(t,k)
×
exp
⎧
⎨
⎩
i
∫
q'',t''
q',t'
𝑑t
∑
k
ℒ[q(t,k);q̇(t,k)]
⎫
⎬
⎭
(39.7)
Это выражение непосредственно обобщается на случай теории поля. Рассмотрим Для простоты одно поле φ; роль переменной k здесь играет пространственная координата ⃗x. Если выбрать состояние |φ(t,⃗x)⟩ так, чтобы выполнялось условие
φ̂(x)|φ(x)⟩=φ(x)|φ(x)⟩,
то для таких состоянии справедливо соотношение
⟨φ(t'',⃗x)|e
-i(t-t')Ĥ
|φ(t',⃗x')⟩
=
N
∫
∏
x
𝑑φ(x)
×
exp
⎧
⎨
⎩
i
∫
t''
t'
𝑑
4
x ℒ(φ,∂φ)
⎫
⎬
⎭
.
(39.8)
Конечно, как и в случае обычной квантовой механики, функциональный интеграл следует понимать как некоторую предельную процедуру. Рассмотрим объем четырехмерного пространства V и разобьем его на конечное число n ячеек. Пусть точки xj, j=1,…,n, лежат внутри j-й ячейки, каждая из которых имеет четырехмерный объем δ. Тогда правая часть соотношения (39.8) определяется как предел
lim
V→∞
∫
𝑑φ(x
1
)…𝑑φ(x
n
)
e
iδ∑jℒ[φ(xj),∂φ(xj)]
n→∞
δ→0
(39.9)
(ниже мы увидим, что нормировочный множитель N из формул для амплитуд переходов выпадает). Для получения матричных элементов S-матрицы или функций Грина требуется вычислить вакуумные средние ⟨Tφ(x)…φ(z)⟩0. Для этого рассмотрим амплитуду перехода вакуум - вакуум
⟨0|Ŝ|0⟩=
lim
t'→-∞
⟨0|e
-i(t''-t')Ĥ
|0⟩;
t''→+∞
введя источники, получим функции Грина. Согласно формуле (39.7), справедливо равенство
⟨0|Ŝ|0⟩=N
∫
∏
x
𝑑φ(x) exp i𝓐, 𝓐=
∫
𝑑
4
x ℒ;
(39.10)
здесь 𝓐 - действие. Добавим к лагранжиану ℒ член, содержащий источник:
ℒ
η
=ℒ+η(x)φ(x), 𝓐
η
=
∫
𝑑
4
x ℒ
η
,
и определим производящий функционал
Z[η]=N
∫
∏
x
𝑑φ(x) exp i𝓐
η
.
В дальнейшем будет показана справедливость соотношения
δnlog Z[η]
δη(x1)…δη(xn)
⎪
⎪
⎪η=0
=
in⟨Tφ̂(x1)…φ̂(xn)⟩0
⟨Ŝ⟩0
,
(39.12)
где правая часть представляет собой связанную функцию Грина, которую до сих пор мы обозначали как
⟨Tφ̂(x
1
)…φ̂(x
n
)⟩
0
включая фазу ⟨Ŝ⟩0 в определение физической Ŝ-матрицы. Мы докажем соотношение (39.12) для случая свободных полей (вывод с учетом взаимодействия приводится несколько ниже). Соответствующий лагранжиан имеет вид
ℒ=½∂
μ
φ∂
μ
φ-½m²φ²
=-½φ{∂²-m²}φ+4-дивергенция.
Технический прием состоит в приведении интеграла к гауссовой форме. С этой целью определим поле φ' формулой
φ'(x)=(∂²+m²)
½
φ(x),
которая справедлива при условии
