φ'(x)
=
∫
𝑑
4
x K
-½
(x-y)φ(y),
K(z)
=
-1
(2π)4
∫
𝑑
4
k
eik⋅z
k²+m²+i0
=i
Δ
(z).
(39.13)
Правило обхода полюса, задаваемое добавкой +i0, гарантирует получение хронологических произведений. Тогда для производящего функционала получаем
Z[η]
=
N
∫
∏
x
𝑑φ'(x) det(∂φ/∂φ')
×
exp i
∫
𝑑
4
x
⎧
⎨
⎩
-1
2
φ'(x)φ'(x)+
∫
𝑑
4
yη(x)K
½
(x-y)φ'(y)
⎫
⎬
⎭
;
здесь det(∂φ/∂φ') - якобиан перехода (бесконечномерный) от переменной φ к переменной φ'. Последний шаг состоит в замене переменной интегрирования:
φ'(x)=φ''(x)+
∫
𝑑
4
y K
½
(x-y)η(y).
Таким образом, окончательный результат имеет вид
Z[η]
=
⎧
⎨
⎩
N
∫
∏
x
𝑑φ''(x) det(∂φ/∂φ'')
e
-i∫𝑑4xφ-2/2
⎫
⎬
⎭
×
e
(i²/2)∫𝑑4x𝑑4y η(x)Δ(x-y)η(y)
,
(39.14)
где Δ(x-y) - пропагатор поля:
Δ(x)=
i
(2π)4
∫
𝑑
4
k
e-ik⋅x
k2-m2+i0
=
⟨Tφ(x)φ(0)⟩
0
.
Член в фигурных скобках в правой части (39.14) не зависит от величины источника η; следовательно, при взятии логарифмической производной он сократится. Поэтому для производящего функционала можно написать выражение
Z[η]=
N
exp
⎧
⎨
⎩
i²
2
∫
𝑑
4
x𝑑
4
y η(x)
Δ
(x-y)η(y)
⎫
⎬
⎭
,
(39.15)
из которого непосредственно получается соотношение (39.12).
Введение в рассмотрение векторных полей не вносит каких-либо трудностей; точно так же, как и в предыдущем случае, операторные вставки связаны с введением внешних источников (пример приведен в § 42). Но включение фермионных полей требует некоторых усложнений. При этом возникает необходимость во введении на классическом уровне антикоммутрующих c -числовых величин52), определяемых соотношениями
52) В математической литературе такая структура называется грассмановой алгеброй. Подробное изложение этого вопроса можно найти в книге [37].
ψ(x)ψ(y)=-ψ(y)ψ(x), [ψ(x)]²=0.
Функционал (классических) фермионных полей в общем виде определяется выражением
F[ψ]
=
K
0
+
∫
𝑑x
1
K
1
(x
1
)ψ(x
1
)+…
+
∫
𝑑x
1
…𝑑x
2
K
n
(x
1
,…,x
2
)ψ(x
1
)…ψ(x
n
)+…,
где K1 - антикоммутирующая функция, а функции Kn при n≥2 можно считать полностью антисимметричными по своим аргументам. Из определения функциональной производной
δF[ψ]
δψ(x)
=
lim
ε→0
F[ψ+εδx]-F[ψ]
ε
,
где ε - антикоммутирующее c -число, удовлетворяющее условиям
εψ=-ψε, ε²=0.
следует справедливость равенства
δnF[ψ]
δψ(xn)…δψ(x1)
⎪
⎪
⎪ψ=0
=n!K
n
(x
1
,…,x
n
).
Отметим обратный порядок следования переменных x в левой части равенства. Это вызвано антикоммутативностью полей ψ в силу которой
δ2
δψ1δψ2
=-
δ2
δψ2δψ1
Интегрирование по антикоммутирующим функциям также обладает рядом особенностей. Чтобы все построения были последовательны, необходимо потребовать выполнения соотношений
∫
𝑑ψ(x)=0,
∫
𝑑ψ(x)ψ(y)=δ(x-y).
Наконец, если мы хотим получить одночастчно-неприводимые функции Грина, т.е. такие функции Грина, которые остаются связанными при рассечении их по одной внутренней линии, мы должны взять функциональную производную не по функции η, а по новому полю φ от нового производящего функционала Γ[φ]:
Γ[
φ
]
=
1
i
log Z[η]-
∫
𝑑
4
x η(x)
φ
(x),
(39.16а)
φ
(x)
≡
-iδlog Z[η]
δη(x)
.
(39.16б)
Отметим, что поле φ представляет собой вакуумное среднее оператора φ̂.
Доказательство того, что величина Γ порождает одночастично-неприводимые функции Грина, очевидно из тождества, к доказательству которого мы переходим. Продифференцировав дважды новый производящий функционал Γ(φ), получаем
δ²Γ
δφ(x)δφ(y)
=-
δη(x)
δφ(y)
=
⎡
⎢
⎣
-
δφ(y)
δη(x)
⎤-1
⎥
⎦
=-i
Δ
-1
(x-y),
откуда, в частности, следует равенство Δ{δ²Γ/[δφ(x)δφ(y)]}Δ=iΔ; с точностью до коэффициента i пропагатор Δ оказьшается равным одночастичнонеприводимой функции Грина в обкладках из пропагаторов. В более общем виде имеем соотношение
δ
δφ
=
⎡
⎢
⎣
δη
δψ
δ
δη
⎤
⎥
⎦
=-i
Δ
-1
(x-y)
δ
δη
(39.17)
которое требовалось найти.
§ 40. Приближение ВКБ в формализме интегралов по траекториям; туннелирование
