1
2
∑
a,λ
⎧
⎨
⎩
G
a
μλ
G
a
νλ
-
G
̃
a
μλ
G
̃
a
νλ
⎫
⎬
⎭
,
(43.6)
которое в случае дуальных полевых конфигураций обращается в нуль: μν=0. Таким образом, дуальные поля G могут соответствовать нетривиальным вакуумным состояниям.
Другое свойство дуальных полей состоит в том, что они должны удовлетворять условию минимума евклидова действия, для которого можно написать
𝓐
=
1
4
∫
𝑑
4
x
∑
G
a
μν
G
a
μν
=
1
4
∑
∫
𝑑
4
x
⎧
⎨
⎩
1
2
(
G
a
μν
±
G
̃
a
μν
)²±
G
a
μν
G
̃
a
μν
⎫
⎬
⎭
≥
1
4
⎪
⎪
⎪
∫
𝑑
4
x
∑
GG
̃
⎪
⎪
⎪
.
(43.7)
Таким образом, действие является положительно определенной величиной, достигающей минимума в случае дуальных полей, когда справедливо равенство
𝓐
=
1
4
⎪
⎪
⎪
∫
𝑑
4
x
∑
G
a
μν
G
̃
a
μν
⎪
⎪
⎪
=
1
4
∫
𝑑
4
x
∑
μ,ν,a
(
G
a
μν
)².
(43.8)
Но по крайней мере в условиях, когда справедливо квазиклассическое ВКБ-приближение, известно, что амплитуда туннелирования определяется величиной exp(-𝓐), поэтому в ведущем порядке эффект туннелирования, если он существует, определяется дуальными полевыми конфигурациями.
Мы уже упоминали о "нетривиальных вакуумных состояниях". Нетрудно убедиться, что существуют такие ненулевые значения глюонных полей B, для которых G=0. В самом деле, поля общего вида, удовлетворяющие этому условию, называются чистой калибровкой; их можно получить из тривиальных полевых конфигураций B=0 калибровочными преобразованиями. Чтобы убедиться в этом, запишем конечное калибровочное преобразование в виде
B
μ
a
(x)
→
B'
μ
a
(x)=2Tr t
a
U
-1
(x)t
b
U(x)B
μ
b
(x)
-
2
ig
Tr t
a
U
-1
(x)∂
μ
U(x)
(43.9)
(ср. с формулой (3.1)). Здесь U(x) - любая зависящая от пространственно-временной точки x матрица, удовлетворяющая условиям U+(x)=U-1(x), det U(x)=1. Но если B=0, то преобразованное поле B' имеет вид
B'
μ
a
(x)=-
2
ig
Tr t
a
U
-1
(x)∂
μ
U(x).
(43.10)
Калибровочная инвариантность тензора напряженности глюонных полей Gμνa обеспечивает равенство G'μν=Gμν=0. Нетривиальными будут решения, для которых G≠0.
§ 44. Инстантоны
Будем искать евклидовы полевые конфигурации, ведущие к дуальному тензору напряженностей G. Для упрощения обозначений предполагаем суммирование по повторяющимся или опущенным цветовым индексам.
Нас интересуют поля, приводящие к конечному значению действия. Это означает, что мы требуем, в частности, выполнения условия
lim
x→∞
|x|²
G
μν
(x)=0,
(44.1)
где евклидова длина определяется формулой
|x|≡+
⎧
⎨
⎩
4
∑
μ=1
(x
μ
)
2
⎫½
⎬
⎭
.
Пусть матрица U(x) осуществляет калибровочное преобразование, т.е. является матрицей размерности Зх3, для которой det U=1 и det U-1=U+. Условие (44.1) будет выполнено, если при больших значениях x глюонное поле B представляет собой результат калибровочного преобразования, проведенного над нулевым полем, т.е. асимптотически является чистой калибровкой. Таким образом,
B
μ
a
→
|x|→∞
-2
ig
Tr t
a
U
-1
(x)∂
μ
U(x)
B
μν
a
→
|x|→∞
0,
(44.2)
Попробуем рассмотреть анзац
B
a
μ
=φ(|x|²)
B
́
a
μ
,
B
́
a
μ
=
-2
ig
Tr t
a
U
-1
∂
μ
U, φ
→
|x|→∞
1.
(44.3)
Поучительно проверить, что тензор напряженностей Ǵ, соответствующий полям B́, равен нулю. С этой целью определим матрицы
ℬ
μ
≡t
a
B
a
μ
,
𝒢
μν
≡t
a
G
a
μν
.
(44.4а)
Очевидно, справедливы соотношения
B
a
μ
=2Tr t
a
ℬ
