μ
,
G
a
μν
=2Tr t
a
𝒢
μν
,
(44.4б)
𝒢
μν
=∂
μ
ℬ
ν
-∂
ν
ℬ
μ
-ig[
ℬ
μ
,
ℬ
ν
].
(44.4в)
Соотношения (44.4) справедливы, конечно, и в пространстве Минковского. Но если поле B описывается формулами (44.3), то оно имеет асимптотику
ℬ
μ
≃
|x|→∞
-
1
ig
U
-1
∂
μ
U,
(44.5)
так что
𝒢
μν
≃
x→∞
1
-ig
{∂
μ
(U
-1
∂
ν
U)-∂
ν
(U
-1
∂
μ
U)}
-
-ig
⎧
⎩
1
-ig
⎫²
⎭
[U
-1
∂
μ
U,U
-1
∂
ν
U]
=
1
-ig
{-U
-1
(∂
μ
U)U
-1
(∂
ν
U)
+U
-1
(∂
ν
U)U
-1
(∂
μ
U)
+
1
-ig
[U
-1
∂
μ
U,U
-1
∂
ν
U]=0 .
Заметим, что члены второго и четвертого порядка по матрице U сокращают друг друга; множитель 1/g оказывается существенным в силу нелинейности тензора G. Это отражает непертурбативный характер решений.
Если U представляет собой элемент группы, который можно непрерывным образом связать с тождественным преобразованием, то тензор 𝒢 обращается в нуль не только асимптотически: 𝒢=0. Поэтому необходимо рассмотреть такую матрицу U, которую нельзя представить в простой форме exp[itθ(x)]. Единственная возможность состоит в объединении пространственно-временны́х и цветовых индексов. Это оказывается допустимым только благодаря тому, что размерность пространства-времени равна четырем. Соответствующей группой инвариантности является группа SO(4), алгебра Ли которой (ее комплексная алгебра Ли) изоморфна произведению двух алгебр Ли группы SU(2). Таким образом, группу SO(4) можно связать с подгруппой SU(2) цветовой группы SU(3). Поэтому будем искать матрицу U в виде
U=
⎧
⎩
u
0
0
1
⎫
⎭
,
где u - матрица SU(2) размерности 2x2. Пусть
σ
4
=
⎧
⎩
1
0
0
1
⎫
⎭
,
- единичная матрица, а σi - матрицы Паули. Любую матрицу размерности 2x2 можно записать в виде суммы A=∑aμσμ. Если ввести обозначения âi=-ai, â4=â4, то легко убедиться в справедливости равенств
⎧
⎩
∑
a
μ
σ
μ
⎫
⎭
⎧
⎩
∑
â
μ
σ
μ
⎫
⎭
=
∑
a
μ
â
μ
и
det A=
∑
a
μ
â
μ
;
таким образом, мы получаем, что матрицу общего вида u можно записать в виде
u
ƒ
=
1
|ƒ(x)|
{σ
4
ƒ
4
(x)+i
⃗
σ
⃗
ƒ(x)}, ƒ
(x)
вещественно.
(44.6)
Полагая ƒμ(x)=xμ, получаем простейшее решение
u(x)=
1
|x|
(σ
4
x
4
+i
⃗
σ
⃗
x).
(44.7а)
Пространственно-временные и цветовые индексы нетривиальным образом связаны друг с другом, поэтому для матрицы u нельзя использовать представление u(x)=exp[(i/2)⃗σ⃗θ(x)]. Как отмечалось выше, попытаемся представить глюонные поля в виде53в)
53в) Анзацы общего вида предложены в работах [78,266].
ℬ
μ
(x)
=
φ(|x|²)
ℬ
̂
μ
(x),
ℬ
̂
μ
(x)
=
1
-ig
U
-1
(x)∂
μ
U(x),
U
=
⎧
⎩
u
0
0
1
⎫
⎭
.
(44.7б)
Полезно вспомнить, что, так как поле ℬ̂ является чистой калибровкой, отвечающее ему значение тензора напряженностей глюонных полей 𝒢̂ равно нулю, поэтому
𝒢
μν
=
∂
μ
ℬ
ν
-∂
ν
ℬ
μ
-ig[
ℬ
μ
,
ℬ
ν
]
=
(∂
μ
φ)
ℬ
̂
ν
-(∂
ν
φ)
ℬ
̂
μ
+φ(∂
μ
ℬ
̂
ν
-∂
ν
ℬ
̂
μ
)
-igφ²[
ℬ
̂
μ
,
ℬ
̂
ν
]
=
2φ'{x
μ
ℬ
̂
ν
-x
ν
ℬ
̂
μ
}
+(φ-φ²)
{∂
μ
ℬ
̂
ν
-∂
ν
ℬ
