̂
μ
};
φ'
=
𝑑φ(|x|²)
𝑑|x|²
.
Проще всего его получить, если заметить, что
B
̂
a
μ
=-(2/g|x|²)
∑
η
a
ρμ
x
ρ
,
где тензор η приведен ниже. Тогда
G
a
μν
=
4i²
|x|²g
⎧
⎪
⎩
φ'-
φ-φ²
|x|²
⎫
⎪
⎭
∑
ρ
(η
a
ρν
x
ρ
x
μ
-η
a
ρμ
x
ρ
x
ν
)
+
4i²
|x|²g
(φ-φ²)η
a
μν
.
Смешанный тензор η определяется выражением
η
a
αβ
=
⎧
⎨
⎩
εaαβ4+δα4δaβ-δβ4δaα ,
0,
a=1,2,3
a=4,…,8.
(44.8)
Отметим, что этот тензор самодуален: ηαβ=η̃αβ; следовательно, условие самодуальности тензора G выполняется в том случае, если функпия φ удовлетворяет уравнению
φ'-
φ-φ²
|x|²
=0,
т.е. глюонное поле ℬμ(x) имеет вид
ℬ
μ
(x)
=
|x|²
|x|²+λ²
⋅
1
-ig
U
-1
(x)∂
μ
U(x), λ произвольно.
(44.9)
Это и есть инстатонное решение, найденное в работе [35]. Отметим, что оно локализовано в окрестности x≈0, т.е. в пространстве и во времени (отсюда и название "инстантон" - мгновенный). Из выражения (44.9) заменой x→x-γ можно получить решения, локализованные в окрестности произвольной пространственно-временной точки x≈y. В дальнейшем это окажется полезным. Выражению (44.9) можно придать большую наглядность, подставив в него выражение для матрицы U при этом мы найдем, что поле B вещественно:
B
a
μ
=
1
g
⋅
-2
|x|²+λ²
∑
ρ
η
a
ρμ
x
ρ
.
(44.10)
Из вида тензора η ц следует связь между пространственно-временными и цветовыми преобразованиями. Соответствующий тензор напряженностей имеет вид
G
a
μν
(x)=
1
g
⋅
-4λ²η
a
μν
(|x|²+λ²)
2
.
(44.11)
Как и следовало ожидать, глюонные поля B и тензор напряженностей G при продолжении их в пространство Минковского оказываются сингулярными (и комплексными!) величинами, так как интервал x² не является уже положительно определенным, а следовательно, знаменатель x²+λ² может обращаться в нуль. Замечательная особенность инстантонных решений состоит в том, что если глюонное поле B при больших x имеет асимптотику B≈1/|x|, то вследствие сокращения большого числа различных членов, входящих в выражение для тензора напряженностей G, последний обладает поведением G≈1/|x|4 и, таким образом, удовлетворяет требованию (44.1).
В дальнейшем мы будем использовать только решение (44.9); но имеются и другие решения53г), найденные в работах [35, 66, 86]. Оказалось, что существует точная симметрия между самодуальными и антидуальными решениями: в антидуальных решениях, соответствующих (44.10), используется тензор
53г) Решения с конечным значением действия, определенного в пространстве Минковского, и с бесконечными в эвклидовом пространстве.
η
a
αβ
=η
a
αβ
, α,β=1,2,3,
η
a
αβ
=-η
a
αβ
α или β=4.
(44.12)
Такие решения называют антинстантонами.
Вычислим теперь действие, соответствующее инстантонному решению. Используя соотношение ∑ηaμνηaμν и формулы, приведенные в приложении Б, получаем результат
𝓐
=
1
4
∫
𝑑
4
x
∑
G
a
μν
G
a
μν
=
48λ²
g²
∫
𝑑
4
x
1
(|x|²+λ²)4
=
8π²
g²
.
(44.13)
В § 45 показано, что туннелирование из состояния |n±⟩ в состояние |n±+ν⟩, где ν - целое число, осуществляется через инстантонные решения. В этом смысле они доказывают существование нетривиальной структуры вакуума КХД которое обсуждалось в § 38. Может показаться странной необходимость подробного обсуждения этой проблемы, поскольку точные решения уже найдены. Ответ на этот вопрос состоит в требовании конечности действия, при котором такие решения искались. Как обсуждалось в § 40, наблюдаемая амплитуда туннельного перехода между двумя состояниями |a⟩ и |b⟩ определяется формулой
⟨a|b⟩
phys
=⟨a|e
-𝓐
|b⟩/⟨b|e
-𝓐
|b⟩
(44.14)
так что даже полевые конфигурации, приводящие к бесконечному значению действия (при условии что бесконечности в числителе и в знаменателе (44.14) взаимно сокращаются), могут давать конечное значение амплитуды туннельного перехода. Можно накладывать требование конечности действия, но оно не является строго обязательным. В действительности, как будет показано в § 45, инстантоны приводят к целочисленным значениям параметра ν, тогда как, согласно работе [82], обсуждавшейся в § 38, при некоторых значениях масс кварков параметр ν оказывается нецелочисленным54). Важность инстантонных решений состоит в том, что они обеспечивают явные эффекты туннелирования и дают возможность оценить их. Но, по-видимому, инстантоны не исчерпывают всех возможных непертурбативных решений в квантовой хромодинамике. Помня об этих оговорках, продолжим изучение инстантонных решений и требования конечности действия.
