54)"Полуинстантоны" с конечным эвклидовым действием и полуцелым топологическим зарядом, по-видимому, недавно теоретически получены в работе [127].
§ 45. Связь инстантонных решений с вакуумом КХД и топологическим квантовым числом
Рассмотрим величину (см. выражение (38.3))
Q
K
=
g²
32π²
∫
𝑑
4
x
∑
G
̃
a
μν
G
a
μν
.
(45.1)
Как обсуждалось выше, глюонные поля, стремящиеся на бесконечности к нулю, имеют вид
ℬ
μ
≃
x→∞
-1
ig
T
-1
B
(x)∂
μ
T
B
(x),
(45.2)
где TB - произвольная матрица из группы SU(3). Рассмотрим переменную x, лежащую на поверхности четырехмерной сферы ∂S4. Калибровочное поле ставит в соответствие каждой пространственно-временной точке x величину TB(x) из калибровочной группы. Таким образом, мы имеем отображение поверхности ∂S4 в группу SU(3). Можно сказать, что две полевые конфигурации гомотопны, и выполняется соотношение ℬ≈ℬ', если они могут быть переведены одна в другую непрерывным преобразованием. Очевидно, что это соотношение является соотношением эквивалентности; таким образом, все калибровочные поля можно разбить на гомотопические классы. Число гомотопических классов бесконечно, но счетно55), так что поля можно нумеровать целым числом n в соответствии с номером гомотопического класса, к которому они принадлежат. Наша очередная задача состоит в том, чтобы показать, что число n совпадает с величиной QK определяемой выражением (45.1). Величина QK называется квантовым числом Понтрягина, или топологическим (спиральным) квантовым числом. Название в скобках связано с кратностью отображения четырехмерной сферы на группу.
55) Эго справедливо для любой простой калибровочной группы, содержащей в себе подгруппу SU(2).
Чтобы убедиться в этом, отметим прежде всего, что, как можно проверить прямыми вычислениями, выражение (45.1) инвариантно относительно непрерывных калибровочных преобразований. Далее заметим, что подынтегральное выражение в (45.1) в действительности представляет собой 4-дивергенцию. В самом деле, как показано в § 38,
g²
32π²
∑
G
a
μν
G
̃
a
μν
=
∑
∂
μ
K
μ
,
(45.3)
где K — "киральный ток":
K
μ
=
g²
16π²
∑
ε
μνρσ
⎧
⎨
⎩
(∂
ρ
B
a
σ
)B
a
ν
+
1
3
gƒ
abc
B
a
ρ
B
b
σ
B
c
ν
⎫
⎬
⎭
.
(45.4)
Используя теорему Гаусса, находим
Q
K
=
g²
32π²
∫
𝑑
4
x
∑
G
a
μν
G
̃
a
μν
=
∫
∂S4
∑
𝑑σ
μ
K
μ
,
где 𝑑σμ - элемент поверхности четырехмерной сферы ∂S4. Используя формулу (45.4), получаем выражение
Q
K
=
g³
48π²
∑
ε
μνρσ
ƒ
abc
∫
∂S4
𝑑σ
4
B
a
ρ
B
b
σ
B
c
ν
.
Вычисления упрощаются, если принять, что Ba=0 для всех значений a, кроме a=1,2,3. Это оказывается возможным благодаря тому, что гомотопические соотношения зависят только от подгруппы SU(2). В этом случае можно принять
ℬ
μ
=
1
2
∑
σ
k
B
k
μ
,
и представление (45.2) остается справедливым, если входящая в него матрица T принадлежит группе SU(2). Тогда получаем следующее выражение для величины QK:
Q
K
=
1
12π²
∑
ε
μνρσ
∫
∂S4
𝑑σ
μ
Tr
⎧
⎨
⎩
(T
-1
∂
ρ
T)
(T
-1
∂
σ
T)
(T
-1
∂
ν
T)
⎫
⎬
⎭
.
(45.5)
Предположим, что мы параметризовали элементы группы SU(2) тремя углами Эйлера ξi ; тогда инвариантную по группе меру можно записать в виде
𝑑μ=Tr
⎧
⎨
⎩
T
-1
∂T
∂ξ1
T
-1
∂T
∂ξ2
T
-1
∂T
∂ξ3
⎫
⎬
⎭
𝑑ξ
1
𝑑ξ
2
𝑑ξ
3
,
∫
SU(2)
𝑑μ=12π².
Мы видим, что выражение (45.5) в точности определяет кратность, с которой поверхность четырехмерной сферы обернута вокруг группы SU(2). Таким образом, как это очевидно из формулы (44.13) и свойств самодуальных (анти-дуальных) полевых конфигураций, инстантонное (антиинстантонное) решение имеет топологическое квантовое число QK=±1. Нетрудно построить решение, отвечающее любому значению топологического заряда ν. Предположим, что параметр ν положителен. Рассмотрим разреженный газ ν инстантонов, описываемый полем
B
a(ν)
μ
(x)=
ν
∑
k=1
B
a
μ
(x-y
k
).
(45.6а)
Пусть поле B имеет величину (44.10), и пусть выполняются условия |γj-γk|→∞. При вычислении тензора напряженностей Gν или его квадрата GνGν перекрытие между двумя различными членами в формуле (45.6) при |γj-γk|→∞, очевидно, стремится к нулю; следовательно, в этом пределе справедливо равенство
