g²
32π²
∫
𝑑
4
xG
(ν)
G
̃
(ν)
=ν.
(45.6б)
Таким образом, мы успешно справились с задачей поиска решений из каждого гомотопического класса. Более интересным оказывается тот факт, что многоинстантонные полевые конфигурации дуальны, а следовательно, соответствующий тензор энергии-импульса обращается в нуль: Θν=0. Это означает, что в квантовой хромодинамике (по крайней мере в ее евклидовой версии) нет единственного вакуума, а есть бесконечное число вакуумных полевых конфигураций |ν⟩, ν=…,-1,0,1,2,…, которые топологически эквивалентны друг другу. Эта ситуация похожа на случай, представленный на рис. 30, б.
Рис. 31. Области интегрирования в выражениях для топологического заряда инстантонов.
Чтобы исследовать это явление более детально, введем в рассмотрение другую гиперповерхность, а именно возьмем цилиндр с осью вдоль оси времени, как показано на рис. 31, а. Выберем кулоноподобную калибровку, так что выполняется асимптотическое условие
B
4
=
x→∞
0.
Тогда остаются интегралы только вдоль оснований цилиндров:
ν=
⎧
⎨
⎩
∫
t''
-
∫
t'
⎫
⎬
⎭
𝑑x
1
𝑑x
2
𝑑x
3
K
(ν)
4
.
Поскольку поле на бесконечности обращается в нуль, пространственно бесконечно удаленные точки, лежащие на основаниях цилиндра, можно отождествить, так что возникают интегралы по большим трехмерным сферам, одна из которых расположена при t=-∞, а другая при t=+∞. Калибровку выберем таким образом, чтобы выполнялось условие
∫
t'→-∞
𝑑x
1
𝑑x
2
𝑑x
2
K
(ν)
4
=n(-∞)=целое число.
Доказательство существования калибровки, непрерывным образом связанной с тождественным преобразованием и удовлетворяющей этому условию, можно найти в лекциях [227]. Принимая во внимание формулу (45.66), получаем равенство
∫
t''
𝑑x
1
𝑑x
2
𝑑x
3
K
(ν)
4
=n(t''), n(+∞)-n(-∞)=ν.
(45.7)
Многоинстаитонные полевые конфигурации B(ν) связывают вакуумные состояния на -∞ и +∞, топологические квантовые числа которых различаются на ν единиц. Поэтому в квантовом случае в соответствии с обсуждением в § 40 можно ожидать, что эти два вакуумных состояния могут быть связаны туннельным переходом, амплитуда которого в ведущем порядке описывается формулой
⟨n(+∞)|n(-∞)⟩=(constatnt) exp(-
𝓐
(ν)
).
Как обсуждалось выше, минимум действия достигается на само дуальных (антидуальных) решениях, т.е. для инстантонов или антиинстантонов (если |n(+∞)-n(-∞)|=1). Таким образом, в ведущем порядке амплитуда перехода имеет вид
⟨n(+∞)|n(-∞)⟩≈(constatnt) exp
⎧
⎨
⎩
-8π²|ν|
g²
⎫
⎬
⎭
.
(45.8)
Поправки высших порядков можно вычислить [252], разлагая в ряд поля не вблизи классических траекторий Bcl=0, а вблизи траекторий Bcl=B(ν)cl=B(ν). Они оказываются важными, так как дают константу в формуле (45.8). Действительно,
exp
⎧
⎨
⎩
-8π²|ν|
g²
⎧
⎪
⎩
1+a
g²
16π²
⎫
⎪
⎭
⎫
⎬
⎭
=e
-a/2
exp
⎧
⎨
⎩
-8π²|ν|
g²
⎫
⎬
⎭
,
но эти члены не меняют качественно результат. Чтобы убедиться в справедливости выражения (45.8), необходимо рассмотреть случай, когда константа связи g мала и член exp(-2π/αg) подавляет любую константу.
Обратимся теперь к рассмотрению вакуумных состояний. Определение производящего функционала дано в § 39 и 41. Если в лагранжиане пренебречь членами, описывающими вклад ду́хов и фиксирующими калибровку, то он (в евклидовой формулировке КХД) имеет вид
+⟨0|0⟩-
=
Z
=
∫
(𝑑
B
) exp
⎧
⎨
⎩
-
∫
𝑑
4
x
ℒ
(
B
)
⎫
⎬
⎭
.
(45.9а)
Но теперь необходимо решить, по каким гомотопическим классам проводить интегрирование. Напомним, что левая часть соотношения (45.9а) представляла собой амплитуду ⟨0,t=+∞|0,t=-∞⟩; поэтому равенство (45.9а) следует переопределить в виде
⟨n(+∞)|m(-∞)⟩=
∫
(𝑑
B
n-m
) exp
⎧
⎨
⎩
-
∫
𝑑
4
x
ℒ
(
B
)
⎫
⎬
⎭
.
(45.9б)
В рамках теории возмущений рассматривается лишь вакуумное состояние |n=0⟩, но очевидно, что благодаря возможности туннелирования все вакуумные состояния |n⟩ связаны между собой [61,174,252], так что ни одно из них не является стационарным и не может отвечать истинному вакуумному состоянию. Стационарные состояния, так же как блоховские состояния в теории твердого тела, получаются из суперпозиций
∑
n
e
inθ
|n⟩≡|θ⟩.
Это выражение инвариантно относительно изменений топологического заряда. В самом деле, пусть Γk - оператор, изменяющий топологический заряд на k единиц; тогда
Γ
k
|θ⟩=
∑
n
e
inθ
|n+k⟩=
∑
m
e
i(m-k)θ
|m⟩=e
-ikθ
|θ,
откуда следует, что под действием этого оператора вакуумное состояние изменяет только свою фазу. Производящий функционал в терминах θ-вакуума можно записать в виде
⟨θ(+∞)|θ'(-∞)⟩=Nδ(θ-θ')
∑
ν
e
-iνθ
