(y)),
которое не зависит от значений полей B и, следовательно, может быть включено в нормировочный множитель N. Для производящего функционала получаем
Z=N'
∫
(𝑑B)
Δ
K
[B]
∏
δ(K[B]) e
i𝓐YM
.
(41.7)
Теперь необходимо устранить δ-функцию и вычислить множитель ΔK. Для Устранения δ-функции выберем, например, лоренцеву калибровку (41.4); интегрируя выражение (41.7) по 𝑑φ с весом
exp
⎧
⎨
⎩
-iλ
2
∫
𝑑
4
x [φ
a
(x)]
2
⎫
⎬
⎭
,
в левой части получаем производящий функционал Z, умноженный на не зависящий от полей B фактор
∫
(𝑑φ) exp
⎧
⎨
⎩
-iλ
2
∫
𝑑
4
x [φ
a
(x)]
2
⎫
⎬
⎭
,
который снова можно включить в нормировочный множитель N', а в правой части интегрирование по полям 𝑑φ тривиально выполняется с помощью δ-функции. Таким образом, для производящего функционала получаем
Z=N''
∫
(𝑑B)
Δ
K
[B] e
i(𝓐YM+𝓐GF)
,
(41.8)
где фиксирующее калибровку действие имеет вид
𝓐
GF
=
-λ
2
∫
𝑑
4
x [∂
μ
B
μ
a
(x)]².
Обратимся к множителю ΔK. Благодаря формуле (41.7) нам необходимы только такие функции B, описывающие глюонные поля, которые удовлетворяют условию (41.3). Для инфинитезимальных значений параметров θ калибровочного преобразования имеем K[BT]=K[B]+(δK/δB)δB∼(δK/δB)δB, δB=BT-B, так что
Δ
-1
K
[B]=
∫
(𝑑θ)
∏
δ
⎧
⎪
⎩
δ(∂Ba)
δB
μ
b
(∂
μ
θ
b
-g∑ƒ
bcd
B
μ
a
θ
c
)
⎫
⎪
⎭
.
Этой формуле можно придать более удобный вид, вводя ду́хи Фаддеева - Попова, представленные актикоммутирующими c -числовыми функциями ω и ω. Тогда, выделяя не зависящий от полей B и ω нормировочный множитель N, величину ΔK можно представить в виде
Δ
K
[B]
=
N
∫
(𝑑ω)(𝑑
ω
)
×
exp
⎧
⎨
⎩
-i
∫
𝑑
4
x𝑑
4
y
ω
a
(y)
δ(∂Ba)
δB
μ
b
×
⎡
⎢
⎣
∂
μ
ω
b
(x)-g∑ƒ
bcd
B
μ
d
ω
c
(x)
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
.
41.9
Доказательство этого выражения основано на формуле
∫
∏
i
𝑑c
i
∏
j
𝑑
c
j
e
∑ckAkk'ck'
=(constant)det A,
которая справедлива52а) для антикоммутирующих c-чисел cj, и на том факте, что вследствие равенства
52а) Для доказательства используем соотношение ∫
N0
∏
i=1 𝑑ci
N0
∏
j=1 𝑑cj e∑ckAkk'ck = ∫
N0
∏
i=1 𝑑ci
N0
∏
j=1 𝑑cj
∞
∑
N=0
⎧
⎨
⎩ ∑ckck'Akk'
⎫N
⎬
⎭
1
N! . В силу правил интегрирования по фермионным переменным отличен от нуля только член с N=N0 , поэтому получаем
(-1)N0
N0! ∑sign(k1,…,kN0) sign(k'1,…,k'N0) Ak1k'1…AkN0Ak'N0, где производится суммирование no всем возможным перестановкам индексов k1,…,kN0; k'1,…,k'N0, каждый из которых пробегает значения 1, 2,…, N0. Это не что иное, как (-1)N0det(A/N0!). Дополнительный множитель (-i) в экспоненте выражения (41.9) дает вклад только в коэффициент перед формулой; это означает, что фаза фермионного члена произвольна. Мы выберем ее так, чтобы она совладала с фазой члена, соответствующего обычным скалярным полям.
∫
𝑑x
1
…𝑑x
k
k
∏
i=1
δ(ƒ
i
(x
1
,…,x
k
))
=
1
det(∂ƒi/∂xj)
,
величина ΔK представляет собой просто определитель (бесконечномерной) матрицы
∂
∂θ
⎧
⎨
⎩
δ(∂B
a
)
δB
μ
b
⎧
⎩
∂
μ
θ
b
-g
∑
ƒ
bcd
B
μ
d
θ
c
⎫
⎭
⎫
⎬
⎭
Осталось сделать последний шаг, чтобы завершить наше рассмотрение. Функциональная производная, входящая в (41.9), имеет вид (см. приложение 3)
δ(∂B
a
(x))
δB
μ
b
(y)
=δ
ab
∂δ(x-y),
поэтому оператор дифференцирования ∂μ можно перенести в левую часть уравнения и провести интегрирование по 𝑑4y. В итоге для производящего функционала получаем
Z=
N
∫
(𝑑B)(𝑑ω)(𝑑
ω
)
e
i(𝓐YM+𝓐GF
