𝓐=
∫
t(x1)
t(x0)
𝑑t L→i
𝓐
так и в уравнениях движения (40.6) - (40.9).
Выражения (40.5) и (40.8) не нормированы. Но их легко нормировать, разделив на амплитуду ⟨x0|x0⟩. Таким образом, можно заключить, что в квантовой теории поля амплитуда туннелирования в ведущем приближении выражается в виде
⟨Ψ
1
,t=+∞|Ψ
0
,t=-∞⟩
≈
C exp
⎧
⎨
⎩
-
∫
𝑑
4
x
ℒ
(
φ
cl
)
⎫
⎬
⎭
(40.10)
где φcl классическое решение евклидовых уравнений движения, т.е. уравнений движения, в которых проведена замена x0→ix4, где переменная x4 вещественна
Согласно обсуждению, проведенному в начале данного параграфа, выражение (40.10) можно рассматривать как ведущий член разложения точного выражения
⟨Ψ
1
,t=+∞|Ψ
0
,t=-∞⟩
=
N exp
⎧
⎨
⎩
-
∫
𝑑
4
x
ℒ
(
φ
cl
)
⎫
⎬
⎭
(40.11)
по степеням постоянной Планка ħ в окрестности классической траектории φcl.
Важное свойство состояний системы, находящейся в условиях, когда возможно туннелирование, заключается в следующем. В стационарных состояниях (в частности, в основном состоянии, которое должно быть отождествлено с вакуумом теории поля) система не локализована в одном из минимумов потенциала V, а распределяется между всеми минимумами. В случае КХД это будет показано на примере периодического потенциала, подобного потенциалу рис. 30, б.
§ 41. Формализм функциональных интегралов в квантовой хромодинамике; калибровочная инвариантность
Формализм, развитый в предыдущих параграфах, можно непосредственно применить к квантовой хромодинамике, если сначала рассмотреть вопрос о калибровочной инвариантности. Одна из возможностей состоит в том, чтобы выбрать физическую калибровку
u⋅B
a
(x)=0, u²≥0,
(41.1)
так что интегрирование в функциональном интеграле производится по полям B, удовлетворяющим условию (41.1). Теперь производящий функционал с точностью до произвольного нормировочного множителя N определяется в виде
Z=N
∫
(𝑑q)(𝑑
q
)(𝑑B)
∏
a,x
δ(u⋅B
a
(x)) exp i
∫
𝑑
4
x ℒ
u
,
(41.2)
где введены часто употребляемые в дальнейшем обозначения (𝑑q)≡Πx,ƒ,i,α𝑑qiƒα(x), (𝑑B)≡Πx,μa𝑑Bμa(x) и т.д., a ℒu - лагранжиан КХД, не содержащий членов, фиксирующих калибровку. Это все, что требуется, если мы хотим работать в физической калибровке. Но хотелось бы также распространить формализм функциональных интегралов и на другие типы калибровок, в частности на ковариантные калибровки. Калибровочные условия можно записать в виде
K
a
[B(x)]=0,
(41.3)
где K - функционал, фиксирующий калибровку. Например, лоренцева калибровка имеет вид
K
a
[B(x)]=∂
μ
B
μ
a
-φ
a
(x),
(41.4)
где поле φ представляет собой заданную функцию (в частности, можно взять φ=0).
Пусть T(θ) - калибровочное преобразование, задаваемое параметрами θ(x), а BT — поля, возникающие из полей B под действием этого калибровочного преобразования:
B
μ
Ta
(x)=B
μ
a
(x)+g
∑
ƒ
abc
θ
b
(x)B
μ
c
(x)-∂
μ
θ
a
(x)
(ср. с § 3). Величина
Δ
-1
K
[B]=
∫
∏
x,a
𝑑θ
a
(x)
∏
x,a
δ(K
a
[B
T
(x)])
(41.5)
при калибровочных преобразованиях не изменяется:
Δ
-1
K
[B
T
]=
Δ
-1
K
[B
T
].
Для доказательства этого утверждения достаточно показать, что элемент интегрирования Πx,a𝑑θa является калибровочно-инвариантной величиной. В случае инфинитезимальных преобразований (которые только и нужны) это очевидно, так как
T(θ)T(θ')=T(θ+θ')
Забудем на время о существовании кварков, роль которых при калибровочных преобразованиях вполне ясна. Выражение (41.2) можно переписать в виде
Z=N
∫
(𝑑B)(𝑑θ)
∏
δ(u⋅B
a
(x))
∏
δ(K
b
[B
T
)
Δ
K
[B
T
]e
i𝓐YM
,
(41.6)
где чисто янг-миллсовское действие
𝓐
YM
=-
1
4
∫
𝑑
4
x
∑
G
aμν
(x)G
μν
a
(x).
Предположим, что в выражении (41.6) производится замена переменной, вызванная калибровочным преобразованием вида
B(x)→B
T0
(x),
где преобразование T0 выбрано равным T-1. При такой замене переменных получаем
Z=N
∫
(𝑑B)(𝑑θ)
Δ
K
[B]
∏
δ(u⋅B
T0a
(y))
∏
δ(K[B(y)]) e
i𝓐YM
.
Пусть поля Bu являются глюонными полями, удовлетворяющими условию (41.1). Поле BT0 можно найти, производя калибровочное преобразование U(θu). Тогда имеем
δ(u⋅B
T0
)=δ(u⋅B
uU
),
и, таким образом, выполняется соотношение
∫
(𝑑θ)
∏
δ(u⋅B
T0a
(y))=
∫
(𝑑θ)
∏
δ(-u⋅∂
μ
θ
ua
