(μ)
R
(p
2
)=
-2
∫
1
16π
2
0
dx(1+x)log
xm
2
+x(1-x)μ
2
xm
2
-x(1-x)p
2
,
(11.1 б)
В рамках схемы MS выражения для пропагатора S и функций A и B имеют вид
S
(ν)
R
(p;g,m)=i
1-(4/3)g
2
A
R
(p
2
,ν)
p
-m{1-(4/3)g
2
B
R
(p
2
,ν)
,
(11.2 а)
A
R
=
1
16π
2
{
-1-2
∫
1
0
dx(1-x)log
xm
2
-x(1-x)p
2
ν
2
0
}
;
B
R
=
1
16π
2
{
1+2
∫
1
0
dx(1+x)log
xm
2
-x(1-x)p
2
ν
2
0
}
.
(11.2 б)
Видно, что перенормировочная процедура вводит в функции Грина зависимость от произвольного параметра размерности массы: это точка нормировки μ2 в μ-схеме или шкала масс ν2 в схеме MS.
Начнем с рассмотрения μ-схемы перенормировки. Предположим, что точка нормировки изменилась и вместо прежнего значения μ взято новое значение μ'. Если использовать лишь выражения (11.16), в которых параметр μ заменен на μ', то выражение для кваркового пропагатора S(μ')R будет отличаться от прежнего. Но мы хотим построить теорию, которая была бы определена однозначно; следовательно, необходимо скомпенсировать изменение кваркового пропагатора. Этого можно добиться, если принять, что масса кварка тоже зависит от точки нормировки μ.
Поэтому перепишем выражение (11.1а) для пропагатора в виде
S
(μ)
R
(p;g,m(μ))=i
1-(4/3)g
2
A
(μ)
R
(p
2
)
p
-m(μ){1-(4/3)g
2
B
(μ)
R
(p
2
)}
.
(11.3)
Существование зависимости массы кварка от точки нормировки очевидно из выражения для перенормированного пропагатора SR, записанного через неперенормированный пропагатор:
S
(μ)
R
(p;g,m(μ))
=
Z
-1
F
(μ)S
uD
(p;g,m
uD
);
m
uD
=
Z
m
(μ)m(μ).
(11.4)
Поэтому для обеспечения независимости кваркового пропагатора от точки нормировки μ достаточно подходящим образом выбрать зависимости перенормировочных множителей ZF и Zm от этой точки. Другими словами, если известно выражение для пропагатора S(μ)R при (p;g,m(μ)), то можно вычислить его значение и при (p=μ';g,m(μ)). После этого определим пропагатор S(μ')R, нормированный в точке μ',в виде
S
(μ')
R
(μ',g,m(μ'))=
i
p
-p(μ')
.
Потребовав равенства выражений для пропагаторов при p=μ', можно определить функции m=(μ') и ZF=(μ')/ZF=(μ). В результате, например, получаем следующее выражение для функции m=(μ'):
m(μ')=m(μ)
{
1-
2
3
α
g
∫
1
π
0
dx(1+x)log
xm+x(1-x)μ'
2
xm+x(1-x)μ
2
}
.
В рамках схемы MS рассуждение оказывается более простым, но вместе с тем и более тонким 17б). После проведения регуляризации во всех выражениях возникает произвольный параметр ν0, имеющий размерность массы. Если мы хотим получить функции Грина, не зависящие от этого произвольного параметра ν0, то этого можно добиться, отбросив в возникающих выражениях не только (4π)ε/2Γ(ε/2), а весь член (4π)ε/2Γ(ε/2)νε0. Единственный способ достичь этого состоит во введении нового параметра ν размерности массы, так что теперь перенормировочный множитель Z заменяется на комбинацию Z(ν)=(ν0/ν)εZ; которая сократится с множителем Nν0=2/ε-γE+log4π+logν0. Перенормированные функции Грина будут зависеть от параметра ν, но не будут уже зависеть от ν0. Предположим, что мы хотим изменить значение параметра ν, но так, чтобы при этом не возникло физических эффектов. Для этого достаточно ввести зависимость от параметра ν в константу связи g, массу кварка m и калибровочный параметр ξ (в дополнение к зависимости от ν перенормировочного множителя Z). Для функции Грина Γ с отсеченными внешними линиями получаем
17б) Используемая здесь перенормировочная схема MS несколько отличается от стандартной схемы MS, хотя по существу полностью ей эквивалентна.
Γ
R
(p
1
,…,p
N-1
;g(ν),m(ν),ξ(ν);ν)
=Z
-½
Φ1
