(33.3)
и записать с его помощью равенства
F
μν
(k
1
,k
2
)
=
1
ƒπm
2
π
T
μν
(k
1
,k
2
),
T
μν
(k
1
,k
2
)
=
1
2
∫
𝑑
4
x𝑑
4
y
e
i(x⋅k1+y⋅k2)
⟨TJ
μ
(x)J
ν
(0)∂A
3
(0)⟩
0
.
(33.4)
До сих пор все вычисления были точными. Следующий же шаг связан с применением гипотезы частичного сохранения аксиального тока (ЧСАТ), сформулированной в таком виде: предполагается, что в пределе q²→0 амплитуду F(π→γγ) можно аппроксимировать ее ведущим членом. Из чисто кинематических соображений видно, что при этом также q, k1, k2 → 0. Тогда можно написать
T
μν
(k
1
,k
2
)
=
ε
μναβ
k
1α
k
2β
Φ+O(k
3
).
(33.5)
Гипотеза частичного сохранения аксиального тока означает, что в выражении (33.5) мы сохраняем только первый член. Ниже будет показано, что это приводит к противоречию, для разрешения которого необходимо ввести так называемую аксиальную аномалию, что позволит точно вычислить тензор Tμν во всех порядках теории возмущений (в приближении ЧСАТ).
Первый шаг состоит в рассмотрении величины
R
μνλ
(k
1
,k
2
)
=
∫
𝑑
4
x𝑑
4
y
e
i(x⋅k1+y⋅k2)
⟨TJ
μ
(x)J
ν
(y)A
λ
3
(0)⟩
0
.
(33.6)
Исходя только из требования лоренц-инвариантности, для нее можно написать общее разложение
R
μνλ
(k
1
,k
2
)
=
ε
μνλα
k
1α
Φ
1
+
ε
μνλα
k
2α
Φ
2
+O(k³),
(33.7)
где члены O(k³) имеют вид εμλαβkiαkiβklλΦlij + три перестановки, и для случая m≠0 функция Φ является регулярной в пределе ki→0. Сохранение электромагнитного тока ∂J=0 приводит к равенствам
k
1μ
R
μνλ
=
k
2ν
R
μνλ
=0;
(33.8)
первое из этих равенств обеспечивает выполнение соотношения
Φ
1
=
O(k²),
(33.9а)
а второе - соотношения
Φ
2
=
O(k²),
(33.9б)
Но из формул (33.4) и (33.6) следует равенство
q
λ
R
μνλ
(k
1
,k
2
)
=
T
μν
(k
1
,k
2
), т.е. Φ=Φ
2
-Φ
1
,
(33.10)
и, следовательно, учитывая выражения (33.9) , получаем результат [238, 255]
Φ=O(k²).
(33.11)
Импульс k имеет величину порядка m откуда следует оценка Φ2π. По это противоречит эксперименту и, что еще хуже, противоречит результату прямого вычисления. Действительно, используя уравнение движения, можно написать
∂
μ
A
μ
3
(3)=2i
⎧
⎨
⎩
m
u
u
(x)γ
5
u(x)
-
m
d
d
(x)γ
5
d(x)
⎫
⎬
⎭
.
(33.12)
Рис. 25. Диаграммы с аномалиями (а, б) и диаграммы, не содержащие аномалий (в, г).
Проведем вычисления в нулевом порядке теории возмущений по константе связи αs ; очевидно, что в этом порядке выражение (33.11) должно быть справедливо. Этому соответствуют диаграммы рис. 25, а. Результат, полученный впервые в работе [234], в пределе k1,k2→0 при δu=1, δd=-1 имеет вид
T
μν
(k
1
,k
2
)
=
3×2×
∑
f=u,d
δ
ƒ
Q
2
ƒ
m
ƒ
×
∫
𝑑4p
2(π)4
⋅
Tr γ
5
(
p
+k
1
+m
ƒ
)
γ
μ
(
p
+m
ƒ
)
γ
ν
(
p
-k
2
+m
ƒ
)
[(p+k
1
)²-m
2
ƒ
](p²-m
2
ƒ
[(p-k
2
)²-m
2
ƒ
]
=
-1
4π²
ε
μναβ
k
1α
k
2β
⎧
⎨
⎩
3(Q
2
u
-Q
2
d
)
⎫
⎬
⎭
+O(k
4
)
=
-1
4π²
ε
μναβ
k
1α
k
2β
+O(k
4
)
