⎫½
⎪
⎭
⋅
8m
2
π
ƒ
2
π
3⟨αG²⟩½
{1±δ} ,
(32.6)
где δ - поправка~25%. Если использовать значение вакуумного среднего ⟨αsG²⟩0 , полученное из спектроскопии чармония [229, 230] или в вычислениях на решетке [96], то получим такие численные оценки:
m̂
u
+m̂
d
≥(23±8) МэВ ,
⟨α
s
G²⟩≈0.044
+0.014
-0.006
ГэВ
4
.
(32.7)
Эта ограничения не учитывают возможные ошибки в определении значения вакуумного среднего ⟨αsG²⟩ . Если добавить и их, то получим ограничение снизу
m̂
u
+m̂
d
≥13 МэВ .
(32.8)
Во всяком случае, это ограничение совместимо в пределах ошибок с ограничениями (31.7), хотя некоторое предпочтение отдается бо́льшим массам кварков.
Этот метод можно использовать не только для получения ограничений на массы кварков, но и для оценки их значений. С этой целью в рамках той или иной модели вычисляют функцию Im Ψ5ij(t), для которой при больших t используют выражение, полученное из КХД, а низкоэнергетическую часть параметризуют (одним или несколькими) резонансами. Таким способом получена оценка [169, 254, 284*]
m̂
u
+m̂
d
≥(20±6) МэВ ,
(32.9)
Недавно был развит альтернативный метод [210], который можно рассматривать как основанное на КХД улучшение классических оценок, полученных в работе [192]. Этот метод позволил получить приближенное значение m̂u+m̂d≈(27±8) МэВ при параметре обрезания Λ=130 ± 50 МэВ. Как было указано выше, мы получаем массы кварков, согласующиеся с оценками (31.7), но смещенные в сторону больших значений. Между прочим, эти оценки показывают, что ограничение (32.6) является очень строгим, и, возможно, приближенное равенство
m̂
u
+m̂
d
≈
⎧
⎪
⎩
2π
3
⎫½
⎪
⎭
⋅
8m
2
π
ƒ
2
π
3⟨αG²⟩½
,
по крайней мере в некотором пределе, является точным.
§ 33. Распад π0→γγ; аксиальная аномалия
Одно из первых указаний на существование цветовых степеней свободы было получено при изучении распада π0→γγ, к детальному рассмотрению которого мы теперь переходим.
Используя редукционные формулы, амплитуду этого распада можно записать в виде
⟨γ(k
1
,λ
1
),γ(k
2
,λ
2
)
|S|π
0
(q)⟩
=
-ie2
(2π)9/2
ε
*
μ
(k
1
,λ
1
)
ε
*
ν
(k
2
,λ
2
)
∫
𝑑
4
x
1
𝑑
4
x
2
𝑑
4
z
e
i(x1⋅k1+x2⋅k2-z⋅q)
×
(∂
2
z
+m
2
π
⟨TJ
μ
em
(x
1
)
J
ν
em
(x
2
)
φ
π0
(z)⟩
0
,
(33.1)
где принято
∂A
μ
(x)=J
μ
em
(x),
A — поле фотонов48а). Выделяя дельта-функиию δ(k1+k2+q), получаем
48а) Мы оставляем читателю в качестве упражнения доказательство этого равенства, а также равенства ∂
2
x1 ∂
2
x2 TAμ(x1)Aν(x2)φ(z) = T(∂²Aμ(x1)∂²Aν(x2))φ(z) , означающего, что возможные члены, в которых производные действуют на функцию θ01-z0 в хронологическом произведении, приводят к вкладам, равным нулю.
F(π
0
)→γ(k
1
,λ
1
),γ(k
2
,λ
2
))
=
e
2
(q
2
-m
2
π
)
√2π
ε
*
μ
(k
1
,λ
1
)
ε
*
ν
(k
2
,λ
2
)
F
μν
(k
2
,k
2
) ,
(33.2а)
где вакуумное среднее
F
μν
(k
2
,k
2
)
=
∫
𝑑
4
x𝑑
4
y
e
i(x⋅k1+y⋅k2)
⟨TJ
μ
(x)J
ν
(y)φ
π0
(0)⟩
0
,
q
=
k
1
+k
2
.
(33.2б)
Всюду в дальнейшем при токе J подразумевается индекс em, обозначающий электромагнитное взаимодействие. Теперь можно использовать соотношение (31.1), обобщив его так, чтобы включить поля π0-мезонов:
∂
μ
A
μ
3
(x)
=
2ƒ
π
m
2
π
φ
π0
(x),
A
μ
3
(x)
=
u
(x)γ
μ
γ
5
u(x)
-
d
(x)γ
μ
γ
5
d(x),
