ms
md
=18±4 ,
md
mu
=2.0±0.3
(31.6)
Если теперь объединить эти результаты с феноменологическими оценками (из спектроскопии мезонов и барионов) масс кварков ms-md≈100 - 200 МэВ md-mu≈4 МэВ, то мы получим следующие значения масс в мегаэлектронвольтах:
m
u
(q∼m
p
)≈6,
m
d
(Q∼m
p
)≈10,
m
s
(Q∼m
p
)≈200,
(31.7)
где приближенное равенство означает, что возможна ошибка в 2 раза.
Такой способ получения масс кварков весьма неточен, поэтому в следующем параграфе будет описан другой, более изощренный метод.
§ 32. Ограничения на массы легких кварков и оценки для них
В этом параграфе описан метод получения ограничений на массы кварков и оценок для них. Этот метод впервые был использован в работе [254] и развит в работе [34]. Отправной точкой метода является функция
Ψ
5
ij
(q²)
=
i(m
i
+m
j
)²
∫
𝑑
4
x e
iq⋅x
⟨TJ
5
ij
(x)J
5
ij
(0)
+
⟩
vac
,
(32.1)
где ток J5 имеет вид
J
5
ij
q
i
γ
5
q
j
.
Во всех порядках теорий возмущений функция
F
ij
(Q²)
=
∂²
∂(q²)²
Ψ
5
ij
(q²) ,
Q²=-q² ,
в пределе Q²→∞ обращается в нуль. Следовательно, можно записать без каких-либо вычитаний следующее дисперсионное соотношение:
F
ij
(Q²)
=
2
π
∫
∞
0
𝑑t
Im Ψ
5
ij
(t)
(t+Q²)³
.
(32.2)
Левую часть этого равенства при больших значениях Q² можно вычислить в рамках квантовой хромодинамики. Но при этом необходимо соблюдать осторожность: недостаточно сохранить только ведущий член операторного разложения для произведения токов TJ5J5+, вклад операторов qq, xαq∂αq и G²=∑aGaμνGμνa также оказывается важным. Проводя вычисления в двухпетлевом приближении и помня о том, что операторы αsG² и mqq в рассматриваемом порядке теории возмущений являются ренорминвариантными величинами, получаем
F
ij
(Q²)
=
3
8π²
⋅
[mi(Q²)+mj(Q²)]²
Q²
×
⎧
⎨
⎩
1+O
⎧
⎪
⎩
m²
Q²
⎫
⎪
⎭
+
11
3
⋅
αs(Q²)
π
+
2π
3
⋅
αs⟨G²⟩
Q4
-
16π2
3Q4
⎡
⎢
⎣
⎧
⎪
⎩
m
j
-
mi
2
⎫
⎪
⎭
⟨
q
i
q
i
⟩
+
⎧
⎪
⎩
m
i
-
mj
2
⎫
⎪
⎭
⟨
q
j
q
j
⟩
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
.
Вклады операторов ⟨qq⟩ и ⟨G²⟩ оцениваются с учетом непертурбативных частей кваркового и глюонного пропагаторов (см. § 35, 36, где подробно рассмотрен пример вычислений). Вклады оператора m⟨qq⟩ можно оценить, используя формулы (31.4) и (31.5); по-видимому, эти вклады имеют величину O(m²/Q²) и оказываются пренебрежимо малыми. Таким образом, получаем
F
ij
(Q²)
=
3
8π²
⋅
[mi(Q²)+mj(Q²)]²
Q²
×
⎧
⎨
⎩
1+
11
3
⋅
αs(Q²)
π
+
2π
3Q4
α
s
⟨G²⟩
⎫
⎬
⎭
.
(32.3)
Обратимся теперь к правой части равенства (32.2). Вклад пионного (для ij=ud) или каонного (для ij=us,sd) резонанса можно получить непосредственно; в случае пионов находим
2
π
∫
∞
0
𝑑t
Im Ψ5(t)
(t+Q²)³
=
4ƒ
2
π
m
4
π
1
(m
2
π +Q²)³
+
2
π
∫
9m2π
𝑑t
Im Ψ5(t)
(t+Q²)³
.
(32.4)
Здесь важно, что Im Ψ5(t)≥0; отсюда немедленно следует неравенство, связывающее величины mu+md и mπ,ƒπ,⟨αsG²⟩ :
[
m
u
(Q²)+
m
d
(Q²)]²
≥
32π²ƒ
2
π
m
4
π
3(m
2
π +Q²)³
×
⎧
⎨
⎩
1+
11
3
⋅
αs(Q²)
π
+
2π
3Q4
α
s
⟨G²⟩
⎫-1
⎬
⎭
.
(32.5)
Это ограничение не слишком хорошее, так как мы теряем значительную часть информации. Его можно улучшить, рассмотрев N-ю производную от величины F(Q²) и оптимизируя ее по переменным N и Q2. Детальное изложение можно найти в работе [34]. В результате получаем
m̂
u
+m̂
d
≥
⎧
⎪
⎩
2π
3
