⟩
vac
,
и их сверток с компонентами импульса qμ и qν
q
ν
q
μ
F
μν
(q)
=
-q
ν
∫
𝑑
4
x e
iq⋅x
∂
ν
⟨TA
μ
(x)A
ν
(0)
+
⟩
vac
,
=
-q
ν
∫
𝑑
4
x e
iq⋅x
δ(x
0
)
⟨[A
0
(x),A
ν
(0)
+
]⟩
vac
-
-q
ν
∫
𝑑
4
x e
iq⋅x
⟨T∂A(x)A
ν
(0)+⟩
vac
,
=
2i
∫
𝑑
4
x e
iq⋅x
δ(x
0
)
⟨[A
0
(x)∂A(0)
+
]⟩
vac
+
i
∫
𝑑
4
x e
iq⋅x
⟨T∂A(x)∂A(0)
+
⟩
vac
.
Используя равенство (31.1) и вычислив коммутатор, получаем
q
ν
q
μ
F
μν
(q)
=
2(m
u
+m
b
)
∫
𝑑
4
x e
iq⋅x
δ(x)
⟨
u
(x)u(x)+
d
(x)d(x)⟩
vac
+
2iƒ
2
π
m
4
π
∫
𝑑
4
x e
iq⋅x
⟨Tφ
π
(x)φ
π
(0)
+
⟩
vac
,
или в пределе q→0
2(m
u
+m
d
)
⟨
u
(0)u(0)+
d
(0)d(0)⟩
vac
=
-2iƒ
2
π
m
4
π
∫
𝑑x e
iq⋅x
⟨Tφ
π
(x)φ
π
(0)
+
⟩
vac
⎪
q→0
.
В правую часть этого равенства дают вклады пионный полюс и континуум, которые можно записать в виде
i
∫
𝑑
4
x e
iq⋅x
⟨Tφ
π
(x)φ
π
(0)
+
⟩
vac
⎪
q→0
=
⎧
⎨
⎩
1
m
2
π -q2
+
1
π
∫
𝑑t'
Im Π
t'-q²
⎫
⎬
⎭q→0
=
1
m
2
π
+
1
π
∫
𝑑t'
Im Π
t'
;
Π
=
i
∫
𝑑
4
x e
id⋅x
⟨Tφ
n
(x)φ
π
(0)
+
⟩
vac
.
Порядок выполнения предельных переходов в данном случае существен; вначале следует устремить импульс q к нулю, а затем перейти к киральному пределу. В этом пределеле47а) m²π→0 первый член в правой части записанного равенства расходится, а второй остается конечным. Следовательно, мы получаем окончательный результат
47а) Это собственно и есть предел ЧСАТ, так как в этом пределе аксиальный ток сохраняется и его дивергенция равна нулю: ∂μAμ=0.
(m
u
+m
d
)
⟨
u
u+
d
d⟩
vac
=
-ƒ
2
π
m
2
π
⎧
⎨
⎩
1+O(m
2
π
)
⎫
⎬
⎭
.
(31.4)
Это соотношение отражает тот факт, что вакуумное среднее ⟨qq⟩vac не равно нулю, ибо в противном случае мы должны потребовать равенства ƒπ=0. Отметим также, что до сих пор не проводилось различий между "голыми" и перенормированными массами и операторами. Этого и не нужно делать, так как известно, что масса m и составной оператор qq обладают противоположным перенормировочным поведением, и справедливо равенство mR(qq)R = mu(qq)u .
Можно повторить вывод формулы (34.1) для каонов. Пренебрегая членами O(m²π) или O(m²K), получим
(m
u
+m
s
)
⟨
u
u+
s
s⟩
vac
=
-ƒ
2
K
m
2
K+
,
(m
d
+m
s
)
⟨
d
d+
s
s⟩
vac
=
-ƒ
2
K
m
2
K0
.
(31.5)
Если предположить, что вакуумное среднее ⟨qq⟩ одинаково для кварков всех ароматов, то для масс легких кварков можно получить
ms+mu
md+mu
≈
ƒ
2
K
m
2
K+
ƒ
2
π m
2
π
,
md-mu
md+mu
≈
ƒ
2
K
ƒ
2
π
⋅
m
2
K0
-m
2
K+
m
2
π
.
Более строгие оценки требуют рассмотрения обусловленных электромагнитным взаимодействием вкладов в наблюдаемые массы π и K-мезонов. Учитывая их, получаем48)
48) См. работы [99, 260, 280]. Этот метод возник в работах [141, 147, 192]
