Множитель 2 в первом выражении является следствием учета "кросс" диаграмм; множитель 3 возник из суммирования по цвету. Таким образом, получаем
Φ=
-1
4π²
(33.13)
что противоречит результату (33.11). Это и составляет содержание треугольной аномалии [7, 36].
В чем скрыто противоречие? Очевидно, что нельзя сохранить выражение (33.12), которое получено с использованием уравнения движения для свободных полей i∂q=mq ; необходимо допустить, что в присутствии векторных полей (в данном случае фотонного поля) выражение (33.12) не справедливо. Чтобы получить согласие с формулой (33.13), необходимо написать [7]
∂
μ
A
μ
3
(x)
=
2i
⎧
⎨
⎩
m
u
u
(x)γ
5
u(x)
-
m
d
d
(x)γ
5
d(x)
⎫
⎬
⎭
+
3(Q
2
u
-Q
2
d
)
e²
16π²
F
μν
(x)
F
̃
μν
(x),
(33.14)
где дуальный тензор F̃ определяется формулой
F
̃
μν
=
1
2
ε
μναβ
F
αβ
,
F
αβ
=
∂
α
A
β
-∂
β
A
α
,
где A — фотонное поле. Для более общего случая фермионных полей ƒ, взаимодействующих с векторными полями с константой взаимодействия hƒ , справедливо выражение
∂
μ
ƒ
γ
μ
γ
5
ƒ
=
2im
ƒ
ƒ
γ
5
ƒ+
TFh²
8π²
H
μν
H
̃
μν
;
(33.15)
здесь Hμν — тензор напряженностей векторных полей. Вернемся к рассмотрению распада π0→γγ. Из (33.13) в пределе ЧСАТ mπ∼0 вычислим амплитуду распада
F(π
0
→2γ)
=
α
π
⋅
ε
μναβ
k
1α
k
2β
ε
μ
(k
1
,λ
1
)
ε
ν
(k
2
,λ
2
)
(q
2
-m
2
π
)
√
2π
ƒm
2
π
(33.16)
и ширину распада
Γ(π
0
→γγ)
=
⎧
⎪
⎩
α
π
⎫²
⎪
⎭
1
64π
⋅
m
3
π
ƒ
3
π
≈7,25⋅10
-6
МэВ,
которую следует сравнить с экспериментально полученным значением
Γ
exp
(π
0
→γγ)
=
7,95×10
-6
МэВ .
В действительности можно определить и знак амплитуды распада (используя метод Примакова), который согласуется с теоретическими предсказаниями. Важно отметить, что если бы не было цветовых степеней свободы, то результат был бы в (1/3)2 раза меньше и отличался бы от экспериментального значения на целый порядок величины.
Можно поставить вопрос о том, насколько достоверны эти вычисления. В конце концов, они выполнены в нулевом порядке теории возмущений по константе связи αs . На самом деле этот расчет верен во всех порядках теории возмущений КХД 48б); единственное приближение состоит в использовании гипотезы ЧСАТ mπ≈0. Чтобы убедиться в этом, приведем альтернативный метод получения основного результата (33.13). Для этого вернемся к выражению (36.6). В нулевом порядке теории возмущений по константе связи αs имеем
48б) В действительности этот расчет верен во всех порядках теории возмущений для любого взаимодействия, подобного векторному. Доказательство этого факта в основном содержится в работе [9] (см. также [25, 80, 268]).
R
μνλ
=
∑
δ
ƒ
Q
2
ƒ
∫
𝑑4p
(2π)4
⋅
⋅
Tr γ
λ
γ
5
(
p
+k
1
+m
ƒ
)
γ
μ
(
p
+m
ƒ
)
γ
ν
(
p
-
k
2
+m
ƒ
)
((p+k
1
)
2
-m
2
ƒ
)(p
2
-m
2
ƒ
)((p-k
2
)
2
-m
2
ƒ
)
+
вклад "кросс"-диаграммы
(рис. 25,6) В общем случае можно рассматривать произвольный аксиальный треугольник, которому соответствует выражение
R
μνλ
ijl
=2
∫
𝑑Dp
(2π)D
⋅
Tr γ
5
(
p
+k
1
+m
ƒ
)
γ
μ
(
p
+m
ƒ
)
γ
ν
(
p
-k
2
+m
ƒ
)
[(p+k
1
)²-m
2
ƒ
](p²-m
2
ƒ
[(p-k
2
)²-m
2
ƒ
]
(33.17)
Нам нужно вычислить величину qλRλμν . Используя равенство
(
k
1
+
k
2
)γ
5
=-
(
p
-
k
2
