Природа заявляла о своем единстве. О том единстве, о котором еще смутно грезили греки, размышлял Лейбниц, строя свои «универсалии», возвещал Буль в своих стихах, в своей системе и о котором с полной научной ясностью заявил диалектический материализм.
Почти в то же время, как из ирландского городка Корк выходят идеи булевой алгебры, тронувшие лишь умы одиночек, в Лондоне Фридрих Энгельс набрасывает общий план своей «Диалектики природы», которой суждено было совершить переворот в мировоззрении поколений. Пункт третий этого плана: «Диалектика, как наука о всеобщей связи…» И еще раз о том же: «4. Связь наук. Математика, механика, физика, химия, биология…»
Время раздвигает этот диалектический ряд. Физики моделируют различные процессы, изображая, например, потоки жидкости в виде электротоков или уподобляя ход времени быстрому вращению в центрифугах. Математики находят способы изучать свойства одной математической системы с помощью свойств другой системы, служащей как бы ее моделью. Все тот же метод различного толкования одних и тех же знаков, формул, соотношений.
Но продолжить связь наук от математики… до логики решался далеко не всякий. Хотя робким умам сам Энгельс подсказывал возможный шаг, говоря о сходстве, о родстве математики постоянных величин с логикой. И все же иным казалось, что в булевом методе таится какое-то посягательство на самое сокровенное, что отличает человека, — на его мысль. Как?! Свести все богатство мышления к каким-то формулам, подменить язык слов, живой, трепетный язык, — бездушными значками! Недоумения и недоразумения шли рука об руку.
Когда-то во владения логики были допущены так называемые «круги Эйлера», помогающие изображать пересечение классов. То была графическая символика. Но символика алгебры — нет, это уж что-то чересчур! И логика упорно обходила ее и обходилась без нее. И, вопреки надеждам Лейбница, человечество продолжало спорить, все также яростно бросаясь словами.
Алгебра логики была использована для других целей. Ее подхватили математики — ее уже основательно разработанный аппарат, ее формулы и приемы. Ухватились за нее, как за верный инструмент строго логических доказательств. Тень Лобачевского стояла над всей математикой, звала критически взглянуть в самые основы.
Взяв под сомнение знаменитый пятый постулат геометрии Евклида — «через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более чем одну прямую, параллельную данной», — и, выдвинув вместо него другой — «…можно провести не одну, а по крайней мере две параллельные ей прямые», — Лобачевский построил новую геометрию. Геометрию, гораздо более широкую и объемлющую, в которой и сама тысячелетняя геометрия Евклида стала лишь частным случаем. И доказал, что его новая геометрия свободна от противоречий.
Всего лишь небольшая замена в одной исходной точке — и полный пересмотр!
Казанский переворот Лобачевского, дойдя наконец до сознания ученого мира, потряс устои математики. И заставил на многое посмотреть заново, более строго отнестись к тому, что издавна казалось таким непреложным и твердо установленным. К аксиомам, к этим «очевидным истинам», которые кладутся в фундамент всякой теории или системы. К тем следствиям, которые из этих аксиом выводятся. И прежде всего к тем способам доказательства, которыми при этом пользуются.
А доказательство — это логика, это цепочка связанных понятий, суждений, умозаключений. Тут-то и могла пригодиться алгебра логики с ее разработанным аппаратом, с правилами вывода и преобразований. Математиков абстракция не пугает. Вложив определения аксиом и теорем в знаки и связки между ними, они проделывают затем по строгим правилам разные операции, не задумываясь на каждой ступеньке о содержании. Лишь в конце смотрят: отвечает ли полученный вывод истине или нет? Не показывает ли конечная формула противоречий? Недаром математики любят говорить о полезном и продуктивном формализме. В отличие от пустого формализма, когда идет бессмысленная игра в символы без всякого содержания и в конце и в начале.
Математическая логика стала теорией математических доказательств.
Многие рассуждения могут претендовать на право называться доказательством. Но немногие из них, даже самые умные с виду, являются действительно доказательством. Математическая логика это резко обнажала — без лишних слов, с холодным бесстрастием алгебраических выкладок. Аккуратнее! Аккуратнее обращаться с тем, с чего мы начинаем, — как бы призывала ее бессловесная сдержанность. И часто оказывалось, что самое простое является самым запутанным.
Трудно бывает решить какую-нибудь задачу, иногда кажется, что и невозможно. А что такое решить задачу? — спрашивала математическая логика и пыталась дать свое строго логическое, свободное от всяких околичностей определение. Все так называемые «азбучные истины» в математике подвергались ее дотошному расследованию. Даже такую вещь, как элементарную арифметику, нашу простушку школьную арифметику, не удавалось обосновать без противоречий под бдительным оком математической логики.
А что такое число? Даже такой вопрос загонял мысль в тупик и оказывался для некоторых трагическим. Профессор Иенского университета Готлоб Фреге, много занимавшийся математической логикой, потратил всю жизнь на то, чтобы обосновать понятие «число». И когда работа была уже завершена, он получает письмо из Англии от Бертрана Рассела, который, пользуясь аппаратом математической логики, доказывает, что Фреге допустил где-то в исходных положениях ошибку, приводящую к противоречию. Все здание, возведенное иенским профессором, рушится — дело всей жизни!
Математическая логика не знает пощады. Она не терпит, когда мысль не сводит концы с концами.
9
Ну хорошо, а практическое применение? Как ни назойлив бывает для науки подобный вопрос, он все же напрашивался. В самом деле, к какому бы реальному делу приспособить алгебру логики?
Она нашла себе пристанище в теории вероятностей — область, где бушуют множества случайных событий. А событие — категория логическая. Как в логике всякое суждение может быть либо истинным, либо ложным, так и о всяком событии имеет смысл говорить, что оно либо происходит, либо не происходит. Одно из двух. Знакомый двоичный выбор. А если так, то исчисление событий можно строить по законам булевой алгебры. Обозначать символами. Складывать, умножать. Связывать в равенства. Приравнивать единице или нулю. Преобразовывать по знаменитым тринадцати правилам Буля. Разлагать на конституенты…
Словом, еще одна из возможных интерпретаций, о которых задумывался школьный учитель из городка Корк. Отношения в логике и отношения в теории вероятностей оказались изоморфными — схожими по форме.
Но в общем-то все тот же круг: теория для теории. А чтонибудь более практическое, поближе к жизни, к техническим делам?
Никто еще не мог дать ответа. Необычная наука продолжала вариться в собственном соку — в той камерно замкнутой атмосфере, которая так поразила Мартьянова на университетском семинаре. Между тем хотя бы маленький факт практического применения не повредил бы новой науке. Как укрепилось бы ее довольно шаткое положение на белом свете!
Впрочем, подземный толчок уже раздавался.
В 1909 году в Одессе издательство «Матезис», известное в свое время всем любителям науки, выпустило книжку в русском переводе «Алгебра логики». Ее автор француз Луи Кутюра, увлекавшийся всякой логической эквилибристикой и поднявший, между прочим, со дна сундуков опыты математической логики Лейбница, изложил на немногих страницах то, что было сделано в этой области со времени Буля и Порецкого. С типично французским изяществом раскрывал Кутюра метод алгебры логики, как чистейший формалист, избегая всего, что могло бы касаться смысла и содержания тех значков и операций, которыми он так ловко жонглировал. Даже о возможности различных интерпретаций он не упомянул ни словом — недостойно внимания! Формализм, доведенный до совершенства. Милый француз, вероятно, ужаснулся бы, если бы ему задали грубый, «неприличный» вопрос: ну, а практическое применение?
