До лекции Гильберта теория множеств одарила математику множеством проблем. А без множеств в непротиворечивой математике не обойтись. Они говорят тебе, чем вещи являются, а чем — нет; какие идеи имеют одни и те же свойства или подчиняются одинаковым правилам (а также с какими различными типами бесконечности ты можешь столкнуться). На них базируются аксиомы. Ты говоришь: «Множество треугольников — это множество трехсторонних двумерных фигур, сумма углов которых равна 180°», и, пока ведешь речь о треугольниках на плоскости, а не на сфере, у тебя все в порядке. Но в 1903 году Бертран Рассел изобрел несколько парадоксов, иллюстрирующих следующую проблему: множество (или класс) не может содержать само себя. Представьте Севильского Цирюльника. Он бреет каждого мужчину, который не бреется сам. Так вот, бреется ли Цирюльник? Если да, тогда нет, а если нет, тогда — да! Точно как в парадоксе «Лжец»! Несмотря на свою очевидную любовь к парадоксам, Расселл далее попытался разрулить такого рода проблемы, со своим учителем Альфредом Нортом Уайтхедом написав «Principia Mathematica», опубликованные в 1910 году. В трех пухлых томах эта работа фиксировала основные аксиомы и правила математики. После этого все в математике было о'кей — по крайней мере, как в старые добрые времена, — и никакие мерзкие парадоксы не мутили воду, пока не явился Курт Гёдель и все опять не испортил, доказав в 1930 году две теоремы, которым суждено было стать известными под общим названием Гёделевской теоремы о неполноте. Его теории объясняли, как можно отыскивать фундаментальные парадоксы в системе математики. Он сделал это, использовав код.

Как я поняла (а я, в конце концов, ребенок, так что это — упрощенная версия), Гёдель изобрел умный способ присваивать утверждениям числовые коды. Он действовал так: присваивал числа всем частям математического (или иного) утверждения, а потом использовал эти числа для получения другого — уникального, большого числа. Оказывается, это в точности как составление тайного кода! Гёделевский код был чуть изощреннее, но, скажем, вы приписываете математическим символам следующие значения:

У всех символов теперь есть номера, с которыми можно работать. Утверждение «1 + 1 = 2» в этой системе будет представлено последовательностью «6, 3, 6, 5, 7». А сейчас — умный ход. Чтобы превратить эту комбинацию в уникальное большое число, нужно использовать простые числа. Вы берете ряд простых чисел — вспомните: он начинается 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19… — и возводите первое простое в степень вашего первого числа, второе — в степень второго и так далее. Потом перемножаете результаты. В данном случае у вас получится 26×33×56×75×117, что равно 8 843 063 840 920 000 000. Зверски огромное число! Оно даже толком не влезает на экран моего калькулятора.

Каждое составное число является уникальным произведением своих простых делителей. 21 можно разложить толькокак 3×7. И никак иначе. То же самое с созданным нами огромным числом. Оно может быть толькопроизведением данной комбинации степеней простых чисел. Стало быть, чтобы получить теперь ваше первоначальное утверждение, остается лишь факторизовать это число. Но помилуйте! Порой у меня уходит больше часа на разложение трехзначного числа. Кто возьмется сесть и расколоть это— и все лишь затем, чтобы выяснить: 1 + 1 = 2? Но, оказывается, эта система кодирования не предназначена для практики. Она изобретена только для демонстрации того, что можетпроизойти. Теорема Гёделя гласит, что так закодировать можно вообще любое утверждение. Не имеет значения, насколько легко проделать все нужные калькуляции; важна единственность результата. С помощью своей системы Гёдель доказал, что возможна ситуация, в которой число 128 936 (к примеру) будет кодом утверждения: «Утверждение номер 128 936 доказать нельзя». Может быть, не так уж и вероятно, но все равно возможно.

До Гёделя все полагали, что если в основаниях математики обнаружится какой-нибудь изъян, разлом или провал, его можно будет залатать одной или двумя новыми аксиомами, а не то, скажем, новым доказательством или еще чем. А Гёдель доказал, что не важно, сколько будешь латать прорехи; используя его прием кодировки, всегда можно создать (или сделать вероятными) внутренне противоречивые, парадоксальные утверждения. Не совсем абсурдные, как «1 + 1 = 3», а скорее вроде «если 1 + 1 = 2, тогда 1 + 1 ≠ 2».

И это был, по сути, опять парадокс «Лжец». А тот факт, что, пользуясь одной лишь математикой, можно создавать такого рода парадоксы, в которых что-то истинно и в то же время ложно, означал, что математика в самой своей основе… ну, не то чтобы прямо-таки противоречива, но несовершенна. Если о подобных вещах слишком много думать, голова заболит. Как бы то ни было, бедняге Гильберту пришлось смириться с тем, что храм математики не выйдет чистенько и аккуратненько подмести. Вообразите только. Вы ставите перед людьми задачу, надеясь на утешительный результат, а он обманывает все ваши ожидания. Да и Гёдель — бедняга. Убедив самого себя, что у него порок сердца, он стал параноиком и думал, будто вся его еда отравлена. Кормить его мог единственный человек, которому он доверял, — его жена Адель. Когда она попала в больницу, он в буквальном смысле умер от голода.

Дедушка живо интересуется, как у меня продвигаются дела с этой книгой; не знаю, почему. Я хочу знать одно: что было дальше? Потерпела ли математика крах? А если нет, то почему нет? Не ошибся ли Гёдель?

Бабушка улыбается, когда я вываливаю на нее эти вопросы однажды вечером в ее кабинете.

— Если б она потерпела крах, как бы я могла ею до сих пор заниматься?

— Но…

— Гёдель не разрушил математику. Он вдохнул в нее новую жизнь. Гёдель всех вдохновил, особенно Тьюринга. Кантор доказал, что за бесконечностью всегда есть другая бесконечность. Гёдель доказал, что к математике всегда можно добавлять новые аксиомы… и никогда не быть уверенным, что некое заведомо истинное утверждение доказуемо. Тьюринг доказал, что существуют компьютерные программы, которые могут попросту никогда не закончиться. Так волнующе об этом думать.

— Могут никогда не закончиться? — говорю я.

— Точно. — Она улыбается. — Скажем, ты ставишь перед компьютером по-настоящему трудную задачу. У него может уйти миллион лет на поиски ответа, но он его обязательнонайдет — по крайней мере, ты так думаешь. Но как ты узнаешь? Проверить ты не сможешь, через миллион лет тебя не будет. Тогда каким образом ты можешь заранее знать, поддается что-то вычислению или нет? Тьюринг пытался доказать, что способ это выяснить непременно найдется, но в конце концов пришел к выводу, что проблема неразрешима. Иногда ты просто не можешь знать, есть ли у проблемы решение.

Она поворачивается к компьютеру и запускает одну из своих самодельных программ.

— Думаю, ты готова услышать следующую часть истории.

Сон: я заблудилась в лесу, где нет никого, кроме меня. Я слышу странные перешептывания, за которыми пытаюсь следовать, хотя знаю, что это бессмысленно. Вскоре я набредаю на коттедж: снаружи — дикие розы, стены — зеленые от плюща. Я думаю: это сон, поэтому я могу войти в этот коттедж: самое обычное дело поступить так во сне.Войдя, обнаруживаю, что изнутри стены покрыты буквами и символами. Алеф-нуль — тут как тут, повторяется, как узор на обоях по всей прихожей. Числа из моего кулона — тоже здесь: 2,14488156Ех48. В остальном прихожая как попало украшена образами и идеями прошедшей недели: Зеленый Человек, код «Попс», диаграмма с семинара Марка Блэкмена.