(12.1)

где 𝑟_ν=𝐻_ν/𝐻_ν⁰ (см. § 9).

Подставляя в формулу (12.1) теоретическое выражение для величины 𝑟_ν, мы можем получить зависимость между эквивалентной шириной линии и числом поглощающих атомов. Эта зависимость, изображённая на графике, называется обычно «кривой роста». По измеренной эквивалентной ширине линии с помощью кривой роста можно определить число поглощающих атомов. Такие определения служат основой для нахождения химического состава звёздной атмосферы. В этом состоит очень важное (но не единственное) назначение кривой роста.

Для вычисления величины 𝑊 по формуле (12.1) надо задать модель атмосферы. В случае модели Шварцшильда — Шустера величина 𝑟_ν определяется формулой (10.19). Подставляя (10.19) в (12.1), мы получаем зависимость между 𝑊 и 𝑁 Однако, строго говоря, в эту зависимость должны входить ещё величины, являющиеся параметрами в выражении для коэффициента поглощения 𝑘_ν Если для 𝑘_ν взять выражение (8.18), то такими параметрами будут 𝑘₀, Δν_𝐷 и 𝑎. Очевидно, что в данном случае эквивалентная ширина линии зависит от произведения 𝑘₀𝑁 и от параметров Δν_𝐷 и 𝑎, т.е.

𝑊

=

𝐹₁

⎛

⎝

𝑘₀

𝑁

,

Δ

ν

_𝐷

,

𝑎

⎞

⎠

.

(12.2)

В случае модели Эддингтона при простейших предположениях величина 𝑟_ν даётся формулой (10.37), в которой η_ν=𝑘_ν𝑛/α_ν В данном случае для эквивалентной ширины линии имеем

𝑊

=

𝐹₂

⎛

⎜

⎝

𝑘₀

𝑛

α_ν

,

Δ

ν

_𝐷

,

𝑎

⎞

⎟

⎠

.

(12.3)

Легко видеть, что величина 𝑛/α_ν обладает таким же физическим смыслом, как и величина 𝑁, т.е. представляет собой число поглощающих атомов в столбе с сечением 1 см² над фотосферой. В самом деле, мы имеем

𝑁

=

∞

∫

𝑟₀

𝑛

𝑑𝑟

=

𝑛

α_ν

∞

∫

𝑟₀

α

_ν

𝑑𝑟

=

𝑛

α_ν

τ

_ν

.

(12.4)

А так как оптическая глубина основания атмосферы в непрерывном спектре τ_ν порядка единицы, то величины 𝑛/α_ν и 𝑁 должны быть одного порядка.

Из сказанного следует, что для определения числа поглощающих атомов с помощью кривой роста необходимо знать параметры 𝑘₀, Δν_𝐷 и 𝑎. Однако в большинстве случаев эти параметры известны плохо, и поэтому их пытаются находить также с помощью кривой роста. Это можно делать потому, что обычно в спектре звезды содержится много линий данного атома, т.е. мы имеем много соотношений типа (12.2) или (12.3), в которых значения величины 𝑊 известны из наблюдений.

Таким образом, с помощью кривой роста может быть решён ряд задач. Мы сейчас перечислим некоторые из них.

1. Определение числа поглощающих атомов 𝑁 (или 𝑛/α_ν), т.е. числа атомов в состоянии, при переходах из которого возникает данная линия. После этого производится оценка числа атомов рассматриваемого элемента во всех состояниях. Таким путём находится химический состав атмосферы.

2. Нахождение числа атомов в разных состояниях (если в спектре звезды наблюдаются линии, возникающие из разных состояний). При представлении этих чисел формулой Больцмана определяется «температура возбуждения» атомов в атмосфере.

3. Определение доплеровской полуширины линии, равной

Δ

ν

_𝐷

=

ν₀

𝑣

𝑐

,

(12.5)

где 𝑣 — средняя скорость хаотического движения атомов (теплового и турбулентного). Отсюда может быть получено значение скорости 𝑣.

4. Нахождение параметра 𝑎, который даётся формулой (8.27). Тем самым определяется роль столкновений в затухании излучения.

5. Определение величины 𝑘₀, связанной с эйнштейновским коэффициентом спонтанного перехода 𝐴_𝑘𝑖 формулой (8.16). Выражая коэффициент 𝐴_𝑘𝑖 через силу осциллятора ƒ, получаем

𝑘₀

=

√π𝑒²

𝑚ν₀𝑣

ƒ

,

где 𝑚 — масса электрона и 𝑒 — его заряд. Следовательно, зная 𝑘₀, можно найти силу осциллятора для данной линии.

Ниже мы получим теоретические кривые роста в явном виде и сообщим результаты их применения к определению химического состава звёздных атмосфер. Вопросы определения других параметров атмосфер с помощью кривых роста будут кратко рассмотрены в следующем параграфе. Подробнее см. [9] и [10].

2. Кривая роста для модели Шварцшильда — Шустера.

Чтобы получить зависимость эквивалентной ширины линии от числа поглощающих атомов в случае модели Шварцшильда — Шустера, надо подставить в формулу (12.1) выражение (10.19). Сделав это, находим

𝑊

=

∫

𝑘_ν𝑁

1+𝑘_ν𝑁

𝑑ν

.

(12.7)

Для коэффициента поглощения 𝑘_ν мы возьмём выражение (8.18). Так как интеграл (12.7) в общем виде не берётся, то мы рассмотрим три частных случая, соответствующих трём участкам кривой роста.

1. Пусть 𝑁 мало, так что 𝑘_ν𝑁≪1 для всех частот. В этом случае формулу (12.7) можно переписать в виде

𝑊

=

𝑁

∫

𝑘

_ν

𝑑ν

.

(12.8)

Подставляя сюда выражение (8.18), получаем

𝑊

=

√

π

ν₀𝑣

𝑐

𝑘₀

𝑁

.

(12.9)

Эта формула справедлива только для очень слабых линий.

2. Пусть 𝑁 велико, так что 𝑘_ν₀𝑁≫1, но 𝑘_ν𝑁≪1 в тех частях линии, где 𝑘_ν определяется затуханием излучения. В данном случае для 𝑘_ν можно взять выражение (8.24). Подставляя его в формулу (12.7), имеем

𝑊

=

𝑘₀

𝑁

ν₀𝑣

𝑐

+∞

∫

-∞

𝑒^-𝑢²𝑑𝑢

1+𝑘₀𝑁𝑒^-𝑢²

.

(12.10)

Приближённое вычисление интеграла даёт

𝑊

=

2

ν₀𝑣

𝑐

√

ln 𝑘₀𝑁

.

(12.11)

Заметим, что формула (12.11) может быть также получена из следующих соображений. Найдём то расстояние Δν от центра линии, на котором 𝑟_ν=½. Согласно формуле (10.19), на этом расстоянии должно быть 𝑘_ν𝑁=1 или

𝑘₀

𝑁

exp

-

⎛

⎜

⎝

𝑐

𝑣

Δν

ν₀

⎞²

⎟

⎠

=

1.

(12.12)

Отсюда находим

Δ

ν

=

ν₀

𝑣

𝑐

√

ln 𝑘₀𝑁

.

(12.13)