=
4πℎν³
𝑐²
∞
∫
0
𝐸₂
⎛
⎜
⎝
αν
α τ
⎞
⎟
⎠
αν
α 𝑑τ
exp
⎛
⎜
⎝
ℎν
𝑘𝑇𝑒
⎧
⎪
⎩
1
2 +
3
4 τ
⎫
⎪
⎭
-¼
⎞
⎟
⎠ -1
(6.4)
Ранее полученные формулы (4.39) и (4.40) являются частными случаями формул (6.3) и (6.4) (при τν=τ).
Иногда при вычислении величины 𝐼ν(0,θ) по формуле (6.2) функцию 𝐵ν(𝑇) представляют в виде ряда, расположенного по степеням τ:
𝐵
ν
(τ)
=
𝐵
ν
(𝑇₀)
(1+β
ν
τ+…)
,
(6.5)
в котором берут только два первых члена. Мы имеем
β
ν
=
1
𝐵ν(𝑇₀)
⎡
⎢
⎣
𝑑𝐵ν
𝑑𝑇
𝑑𝑇
𝑑τ
⎤
⎥
⎦τ=0
(6.6)
или, на основании формул (4.2) и (5.26),
β
ν
=
3
8
ℎν
𝑘𝑇₀
1
1-𝑒-ℎν/(𝑘𝑇₀)
.
(6.7)
Для величины 𝐼ν(0,θ) приближённо получаем
𝐼
ν
(0,θ)
=
𝐵
ν
(𝑇₀)
×
×
∞
∫
0
(1+β
ν
τ)
exp
⎛
⎜
⎝
-
αν
α
τ
secθ
⎞
⎟
⎠
αν
α
secθ
𝑑τ
,
(6.8)
или, после интегрирования,
𝐼
ν
(0,θ)
=
𝐵
ν
(𝑇₀)
⎛
⎜
⎝
1
+
α
αν
β
ν
cosθ
⎞
⎟
⎠
.
(6.9)
Подставляя (6.9) в (4.35), для потока излучения находим
𝐻
ν
=
π𝐵
ν
(𝑇₀)
⎛
⎜
⎝
1
+
2
3
α
αν
β
ν
⎞
⎟
⎠
.
(6.10)
Формулы (6.9) и (6.10) являются довольно грубыми, однако из них ясно видно, как отношение αν/α влияет на величины 𝐼ν(0,θ) и 𝐻ν. Легко понять, что это влияние объясняется ростом температуры с глубиной. Чем меньше отношение αν/α, тем из более глубоких слоёв фотосферы до нас доходит излучение и тем, следовательно, величины 𝐼ν(0,θ) и 𝐻ν оказываются больше.
Как известно, величиной 𝐼ν(0,θ) даётся распределение яркости по диску звезды. Из формулы (6.9) следует, что в частотах, для которых коэффициент поглощения αν очень велик, яркость диска везде приблизительно одинакова; в частотах же, для которых коэффициент поглощения очень мал, яркость сильно убывает при переходе от центра к краю. Рассмотрим для примера звёзды, в фотосферах которых поглощение вызывается в основном атомами водорода (т.е. звёзды классов 𝙰 и 𝙱, как увидим дальше). Из формулы (5.11) видно, что коэффициент поглощения αν сразу за пределом серии Бальмера в несколько раз больше, чем до предела (так как за пределом 𝑖₀=2, а до предела 𝑖₀=3). Поэтому распределение яркости по диску звезды в частотах после бальмеровского предела должно заметно отличаться от распределения яркости по диску в частотах до бальмеровского предела. Этот вывод может быть сопоставлен с результатами наблюдений затменных переменных звёзд классов 𝙰 и 𝙱.
Величина 𝐻ν характеризует относительное распределение энергии в непрерывном спектре звезды. Важной особенностью спектров звёзд некоторых классов являются скачки интенсивности у пределов серий, вызванные скачками коэффициента поглощения. В частности, в спектрах звёзд классов 𝙰 и 𝙱 должны быть скачки у предела серии Бальмера (интенсивность до предела больше интенсивности после предела). Приближённо бальмеровский скачок может быть найден по формуле (6.10). Более точные данные о бальмеровских скачках в звёздных спектрах будут приведены ниже.
Пользуясь формулой (6.10) и наблюдательными данными о распределении энергии в непрерывном спектре звезды, можно приближённо определить зависимость коэффициента поглощения от частоты в фотосфере (точнее говоря, величину αν/α). Такое определение было сделано для Солнца, когда ещё не был решён вопрос о том, какими атомами вызывается в основном поглощение в фотосфере Солнца. Это исследование сильно способствовало решению указанного вопроса.
2. Случай поглощения атомами одного рода.
Изложенная выше приближённая теория даёт результаты, которые могут быть использованы лишь для грубых оценок. Переходя теперь к более строгой теории фотосфер, мы сначала рассмотрим один частный случай, в котором эта теория сравнительно проста. Именно, допустим, что поглощение в фотосфере вызывается в основном атомами одного рода, т.е. атомами одного элемента в определённой стадии ионизации. В этом случае объёмный коэффициент поглощения может быть представлен в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от частоты и температуры, а другая — только от температуры и плотности, т.е.
α
ν
=
Φ(ν,𝑇)
Ψ(𝑇,ρ)
.
(6.11)
Возможность такого представления видна, например, из формулы (5.11), определяющей коэффициент поглощения αν для водорода.
Если αν даётся формулой (6.11), то уравнение переноса излучения может быть записано так:
cosθ
𝑑𝐼ν
𝑑ζ
=
Φ(ν,𝑇)
[𝐼
ν
-𝐵
ν
(𝑇)]
,
(6.12)
где 𝐵ν(𝑇) — интенсивность излучения абсолютно чёрного тела при температуре 𝑇 и
ζ
=
∞
∫
𝑟
Ψ(𝑇,ρ)
𝑑𝑟
.
(6.13)
Уравнение лучистого равновесия (1.17) в данном случае принимает вид
∞
∫
0
Φ(ν,𝑇)
𝐵
ν
(𝑇)
𝑑ν
=
∞
∫
0
Φ(ν,𝑇)
𝑑ν
∫
𝐼
ν
𝑑ω
4π
.
(6.14)
Из уравнений (6.12) и (6.14) может быть получено одно интегральное уравнение для определения температуры 𝑇 в виде функции от ζ. Если эта функция найдена, то из уравнения (6.12) можно определить интенсивность излучения 𝐼ν(ζ,θ) и, в частности, интенсивность излучения на границе звезды, т.е. величину 𝐼ν(0,θ).
