χ₁
𝑘𝑇
𝑛𝑒𝑛⁺
ρ
80𝑒⁶ℎ²𝑍₁²
π²√3 𝑐 (2π𝑚)³/²
𝑔
(𝑘𝑇)⁷/²
(36.32)
и
ϰʺ
=
𝑛𝑒𝑛⁺
ρ
80𝑒⁶ℎ²𝑍₁²
π²√3 𝑐 (2π𝑚)³/²
𝑔
(𝑘𝑇)⁷/²
.
(36.33)
Здесь через 𝑔 обозначено среднее значение множителя Гаунта.
Входящие в формулы (36.32) и (36.33) величины 𝑛𝑒 и 𝑛⁺ зависят от плотности и химического состава. Пусть, как и раньше, 𝑋 — весовая доля водорода и 𝑌 — весовая доля гелия. Число свободных электронов в 1 см³, возникающих при ионизации водорода и гелия, равно соответственно 𝑋ρ/𝑚𝙷 и 𝑌ρ/2𝑚𝙷. Можно считать, что ионизация тяжёлых элементов даёт
1
2
𝐴(1-𝑋-𝑌)
ρ
𝐴𝑚𝙷
электронов в 1 см³. Поэтому полная концентрация свободных электронов будет равна
𝑛
𝑒
=
1
2
(1+𝑋)
ρ
𝑚𝙷
.
(36.34)
Величина 𝑛⁺, входящая в формулу (36.32), представляет собой концентрацию атомов данного элемента в стадии ионизации, следующей за той, в которой находятся поглощающие атомы. Очевидно, что в каждом месте звезды поглощение производится в основном атомами, находящимися в одной определённой стадии ионизации. Как уже говорилось, для этой стадии ионизации величина χ₁/𝑘𝑇 должна быть порядка единицы. Величину 𝑛⁺ можно приближённо считать равной концентрации всех атомов рассматриваемого элемента, т.е. равной весовой доле этого элемента, умноженной на ρ/𝐴𝑚𝙷. Суммируя величины 𝑛⁺𝑍₁² для всех тяжёлых атомов и принимая для 𝑍₁²/𝐴 некоторое среднее значение, получаем величину
(1-𝑋-𝑌)
ρ
𝑚𝙷
𝑍₁²
𝐴
.
Разумеется, этот подсчёт является довольно грубым.
Величина 𝑛⁺, входящая в формулу (36.33), есть концентрация ионизованных атомов водорода или гелия. Для водорода величина 𝑛⁺𝑍₁² равна 𝑋ρ/𝑚𝙷, а для гелия 𝑌ρ/𝑚𝙷. Сумма этих величин равна
(𝑋+𝑌)
ρ
𝑚𝙷
.
Принимая во внимание сказанное, вместо формул (36.32) и (36.33) получаем
ϰ'
=
𝐶'
𝑔
(1+𝑋)
(1-𝑋-𝑌)
ρ
(𝑘𝑇)⁷/²
(36.35)
и
ϰʺ
=
𝐶ʺ
𝑔
(1+𝑋)
(𝑋+𝑌)
ρ
(𝑘𝑇)⁷/²
,
(36.36)
где 𝐶' и 𝐶ʺ — некоторые постоянные.
Формулы (36.35) и (36.36) получены путём усреднения коэффициентов поглощения по частоте при весовой функции, представляющей собой планковскую интенсивность. Обычно же средние коэффициенты поглощения находятся по формуле Росселанда. Однако и в этом случае получаются формулы, похожие на формулы (36.35) и (36.36). Некоторое различие между ними заключается лишь в численных коэффициентах. Например, в книге М. Шварцшильда [4] приводятся следующие выражения для росселандовых средних:
ϰ'
=
4,3⋅10²⁵
𝑔
𝑡
(1+𝑋)
(1-𝑋-𝑌)
ρ
(𝑘𝑇)⁷/²
,
(36.37)
ϰʺ
=
4,3⋅10²²
𝑔
(1+𝑋)
(𝑋+𝑌)
ρ
(𝑘𝑇)⁷/²
.
(36.38)
Здесь 𝑡 — так называемый гильотинный множитель (порядка единицы).
Коэффициент рассеяния на свободных электронах, определённый формулой (36.31), не зависит от частоты. Полагая σ𝑒=ϰ𝑒ρ и пользуясь формулой (36.34), получаем
ϰ
𝑒
=
σ₀
2𝑚𝙷
(1+𝑋)
=
0,2
(1+𝑋)
.
(36.39)
Формулами (36.37) — (36.39) определяются средние коэффициенты поглощения в зависимости от химического состава, плотности и температуры. Из этих формул можно заключить, что наибольшую роль в поглощении лучистой энергии внутри звёзд играет фотоионизация. Свободно-свободные переходы вносят заметный вклад в поглощение лишь при большом относительном содержании водорода и гелия. Рассеяние света на свободных электронах имеет существенное значение при малых плотностях и высоких температурах.
Кроме лучеиспускания, некоторую роль в переносе энергии внутри звёзд играет теплопроводность. Количество тепловой энергии внутри звезды даже превосходит количество лучистой энергии. Однако лучеиспускание играет все же бо́льшую роль по сравнению с теплопроводностью, так как скорость и длина свободного пробега для фотонов гораздо больше, чем для электронов. В каждом месте звезды происходят переходы тепловой энергии в лучистую и обратно (при поглощении и излучении фотонов) и перенос энергии в основном совершается тогда, когда она находится в форме лучистой энергии. В некоторых же случаях необходимо принимать во внимание и перенос энергии электронной теплопроводностью. Относительная роль электронной теплопроводности растёт с увеличением плотности. Особенно велика эта роль в случае белых карликов вследствие вырождения в них электронного газа. Объясняется это тем, что в вырожденном газе заняты все нижние состояния и длина свободного пробега электрона оказывается очень большой.
Когда мы занимались фотосферой Солнца, то был рассмотрен (в § 15) ещё один механизм переноса энергии — конвекция. В поверхностных слоях звёзд конвективный перенос энергии может играть значительную роль. Применение критерия (15.10) гл. III показало, что и в некоторых частях внутри звезды лучистое равновесие может оказаться неустойчивым и должна возникнуть конвекция. Если мощность источников энергии сильно возрастает при приближении к центру звезды, то в звезде должно существовать конвективное ядро. В этом случае уравнение (35.46), выражающее условие энергетического равновесия звезды, должно быть соответствующим образом изменено.
4. Ядерные реакции как источник звёздной энергии.
При поисках источников звёздной энергии давно была высказана мысль о возможности выделения больших количеств энергии в ходе ядерных реакций. Допустим, что при некоторой реакции образуется ядро, масса которого на величину Δ𝑀 меньше суммы масс ядер, вступающих в реакцию. Тогда на основании принципа Эйнштейна, утверждающего эквивалентность массы и энергии, при такой реакции выделяется энергия
Δ
𝐸
=
𝑐²
Δ
𝑀
,
(36.40)
где 𝑐 — скорость света.
Основную роль в выделении энергии внутри звёзд играют ядерные реакции, преобразующие водород в гелий. Как известно, атомная масса водорода равна 1,008, а атомная масса гелия равна 4,003 (в кислородных единицах). Поэтому при образовании из четырёх атомов водорода одного атома гелия выделяется энергия, соответствующая приблизительно 0,7% массы. Следовательно, звезда, состоящая первоначально из водорода, должна при превращении водорода в гелий выделить энергию, равную
