𝑛₁
<
𝑔₁
𝑔₂
𝑛₂
(если считать, что линия возникает при переходе 2→1). В таком случае происходит не уменьшение, а увеличение интенсивности излучения вдоль луча.
Для выполнения же приведённого неравенства должен существовать механизм накачки, обеспечивающий достаточно большое число молекул на втором уровне (превосходящее их число при бальмеровской распределении, соответствующем бесконечно большой температуре). Таким механизмом может быть возбуждение более высоких уровней излучением в других линиях с последующим спонтанным переходом на второй уровень.
Напишем выражение для интенсивности излучения, выходящего в частотах линии из межзвёздного облака. Пусть на облако падает излучение интенсивности 𝐼ν⁰ и по пути происходит поглощение и испускание лучистой энергии с соответствующими объёмными коэффициентами σν и εν. Тогда интенсивность выходящего из облака излучения будет равна
𝐼
ν
=
𝐼
ν
⁰
exp
⎛
⎝
-
𝑡
ν
⁰
⎞
⎠
+
εν
σν
⎡
⎣
1
-
exp
⎛
⎝
-
𝑡
ν
⁰
⎞
⎠
⎤
⎦
,
(34.22)
где 𝑡ν⁰=σν𝑠₀ — оптический путь луча в облаке и 𝑠₀ — его геометрический путь.
При учёте индуцированного излучения для объёмного коэффициента поглощения имеем
σ
ν
=
⎛
⎜
⎝
𝑛₁
-
𝑔₁
𝑔₂
𝑛₂
⎞
⎟
⎠
𝑘
ν
,
(34.23)
где 𝑘ν — коэффициент поглощения, рассчитанный на одну молекулу. Мы примем, что коэффициент излучения εν также пропорционален величине 𝑘ν. Тогда, пользуясь формулой
4π
∫
εν
ℎν
𝑑ν
=
𝑛₂
𝐴₂₁
и соотношением (8.12), находим
ε
ν
=
𝑛₂
𝐴₂₁
𝑐𝑘ν
4π𝐵₁₂
.
(34.24)
Подстановка выражений (34.23) и (34.24) в формулу (34.22) даёт
𝐼
ν
=
𝐼
ν
⁰
exp
⎛
⎝
-
𝑡
ν
⁰
⎞
⎠
+
2ℎν₀³
𝑔₁
𝑛₂
×
𝑐²
𝑔₂
𝑛₁
-
𝑔₁
𝑛₂
𝑔₂
×
⎡
⎣
1
-
exp
⎛
⎝
-
𝑡
ν
⁰
⎞
⎠
⎤
⎦
,
(34.25)
где принята во внимание зависимость (8.5) между эйнштейновскими коэффициентами 𝐴₂₁ и 𝐵₁₂ и обозначена через ν₀ центральная частота линии.
Выражая интенсивности излучения 𝐼ν и 𝐼ν⁰ через соответствующие яркостные температуры 𝑇ν и 𝑇ν⁰ согласно формуле (18.2), а отношение 𝑛₂/𝑛₁ — через температуру возбуждения 𝑇₁ по формуле
𝑛₂
𝑛₁
=
𝑔₂
𝑔₁
exp
⎛
⎜
⎝
-
ℎν₀
𝑘𝑇₁
⎞
⎟
⎠
,
(34.26)
мы вместо соотношения (34.25) получаем
𝑇
ν
=
𝑇
ν
⁰
exp
⎛
⎝
-
𝑡
ν
⁰
⎞
⎠
+
𝑇₁
⎡
⎣
1
-
exp
⎛
⎝
-
𝑡
ν
⁰
⎞
⎠
⎤
⎦
.
(34.27)
Соотношение (34.27) справедливо как при малой, так и при большой роли индуцированного излучения. Если эта роль велика, т.е.
𝑔₁
𝑔₂
𝑛₂
>
𝑛₁
,
то величины 𝑇₁ и 𝑡ν⁰ оказываются отрицательными. В этом случае при условии, что |𝑡ν⁰|≫1, соотношение (34.27) может быть переписано в виде
𝑇
ν
≈
|𝑇₁|
exp
⎛
⎝
⎪
⎪
𝑡
ν
⁰
⎪
⎪
⎞
⎠
.
(34.28)
Из формулы (34.28) видно, что при |𝑡ν⁰|≫≈20—30 яркостная температура достигает тех огромных значений, которые получаются из наблюдений.
Нетрудно убедиться также в том, что с помощью формулы (34.28) может быть объяснён и другой важный наблюдательный факт — чрезвычайная узость спектральных линий. Допустим, что коэффициент поглощения имеет доплеровский профиль, т.е.
𝑘
ν
=
𝑘₀
exp(-𝑥²)
,
(34.29)
где
𝑥
=
ν-ν₀
Δν𝐷
и
Δ
ν
𝐷
=
ν₀
𝑐
⎛
⎜
⎝
2𝑘𝑇
𝑀
⎞½
⎟
⎠
—
доплеровская полуширина (𝑀 — масса молекулы и 𝑇 — кинетическая температура облака). Учитывая (34.29), вместо (34.28) находим
𝑇
ν
≈
|𝑇₁|
exp
⎛
⎝
𝑡₀
𝑒
-𝑥²
⎞
⎠
,
(34.30)
где обозначено
𝑡₀
=
𝑘₀
𝑠₀
⎛
⎜
⎝
𝑔₁
𝑔₂
𝑛₂
-
𝑛₁
⎞
⎟
⎠
.
Пусть Δν полуширина спектральной линии, т.е. то расстояние от центра линии, на котором интенсивность (или заменяющая её яркостная температура) приблизительно в два раза меньше её центрального значения. Пользуясь формулой (34.30), для полуширины линии получаем
Δ
ν
≈
Δν𝐷
√𝑡₀
.
(34.31)
Так как доплеровская полуширина Δν𝐷 мала вследствие малости кинетической температуры, а величина 𝑡₀ велика (скажем, порядка 25), то полуширина линии Δν действительно должна быть исключительно малой.
При применении формулы (34.28) следует иметь в виду, что она справедлива лишь тогда, когда населённость второго уровня определяется в основном механизмом накачки. Однако когда интенсивность излучения в линии становится достаточно большой, это излучение начинает сильно влиять на населённости уровней. Для такого мазера (его называют насыщенным) рост яркостной температуры с оптической толщиной происходит более медленно, чем по формуле (34.28) (подробнее см. [8]).
