Если параметры группы θa представляют собой константы, не зависящие от пространственно-временной точки x, то лагранжиан квантовой хромодинамики, выписанный в гл. I, оказывается инвариантным по отношению к глобальным преобразованиям группы SU(3)3a), Однако, как мы знаем из квантовой электродинамики (КЭД), эти преобразования полезно обобщить на случай, когда параметры группы θa(x) зависят от пространственно-временной точки x. При этом (локальные) калибровочные преобразования определяются в виде
3a Преобразования называют гпобальными, если определяющие их параметры группы представляют собой константы, независящие от пространственно-временной точки x. — Прим. перев.
q(x)
→
e
-ig∑θa(x)ta
(3.1а)
Аналогично обобщаются обычные преобразования КЭД для калибровочных полей:
B
μ
(x)
→
e
-ig∑θa(x)Ca
B
μ
(x) - ∂
μ
θ(x)
,
(3.1 б)
или в случае инфинитезимальных преобразований θ
q
j
(x)
→
q
j
(x)
-
ig
∑
θ
a
(x)
t
a
jk
q
k
(x),
a,k
(3.1 в)
B
μ
(x)→B
μ
(x)+g
∑
ƒ
θ
(x)B
μ
-∂
μ
θ
(x).
a
a
abc
b
c
a
b,c
В дальнейшем будет предполагаться инвариантность лагранжиана КХД относительно преобразований (3.1) (в действительности лагранжиан (1.11) обладает этим свойством по построению). Это требование приводит к тому, что поля в лагранжиане появляются в строго определенных комбинациях. Из последующего рассмотрения станет ясно, что лагранжиан (1.11) является фактически наиболее общим лагранжианом, инвариантным по отношению к преобразованиям (3.1) и не содержащим констант размерности массы в отрицательной степени (ср. с § 38 и следующими за ним параграфами).
Рассмотрим, как при калибровочных преобразованиях преобразуются производные от полей, например производная ∂μq(x). Из (3.1в) вытекает следующий закон преобразования производной:
∂
μ
q
j
(x)→∂
μ
q
j
(x)
-
ig
∑
t
a
θ
(x)∂
μ
q
k
(x)
jk
a
-
ig
∑
t
a
(∂
μ
θ
(x))q
k
(x).
jk
a
Мы видим, что она преобразуется иначе, чем сами поля. Требование инвариантности лагранжиана по отношению к калибровочным преобразованиям приводит к тому, что все производные от полей должны появляться только в ковариантных комбинациях:
D
μ
q
j
(x)
≡
∑
{
δ
∂
μ
-ig
∑
B
μ
(x)t
a
}
q
k
(x);
jk
a
jk
k
a
(3.2)
здесь Dμ - так называемая (калибровочная) ковариантная производная. Легко доказать ковариантный характер производной Dμ. С использованием матричных обозначений преобразование для ковариантной производной Dμq(x) имеет вид
D
μ
q(x)
→
∂
μ
(x)-ig
∑
t
a
θ
(x)∂
μ
q(x)
a
-
ig
∑
t
a
(∂
μ
θ
(x))q(x)
-g
2
∑
B
μ
(x)
t
a
t
b
θ
(x)q(x)
a
a
b
-
ig
∑
B
μ
t
a
q(x)
-ig
2
∑
ƒ
a
θ
(x)B
μ
(x)q(x)
a
abc
b
c
+
ig
∑
(∂
μ
θ
(x))t
a
q(x).
a
(3.3 a)
Учитывая равенства
tatb = tbta + [ta,tb], [ta,tb] = i∑ƒabccc,
правую часть выражения (3.3a) запишем в виде
D
μ
q(x)
- ig
∑
t
a
θ
(x)D
μ
q(x),
a
(3.3 б)
что и доказывает ковариантный характер преобразования производной Dμq(x). Аналогично коварианмый ротор поля B имеет вид5)
5 Очевидна аналогия тензора Gμνa с тензором напряженности электромагнитного поля Fμν=∂μAν - ∂νAμ
