(D
μ
×
B
ν
)
≡G
μν
=∂
μ
B
ν
+g
∑
ƒ
B
μ
B
ν
.
a
a
a
abc
b
c
(3.4)
Теперь можно записать лагранжиан (1.11) в явно калибровочно-инвариантной форме. Опуская индекс КХД, для лагранжиана ℒ получаем выражение
ℒ=
∑
{
i
q
(x)
D
q(x)-m
q
(x)q(x)
}
-
1
(D×B)
2
.
q
4
q
(3.5)
Член с (D×B)2 представляет собой сокращенную запись лагранжиана калибровочных янг-миллсовских полей:
(D×B)
2
≡G
2
=
∑
G
μν
G
;
ℒ
≡
-
1
(D×B)
2
.
a
aμν
YM
4
a
Важность свойства калибровочной инвариантности заключается в следующем. Во-первых, как ясно из доказательства соотношения (3.3), оно требует универсальности константы взаимодействия, т.е. одна и та же константа связи g описывает взаимодействие кварков с глюонами и самодействие последних. Во-вторых, как показал т’Хофт [248], неабелева теория перенормируема только в том случае, если она калибровочно-инвариантна. Наконец, в-третьих, Коулмен и Гросс [73] доказали, что только неабелева теория может обладать свойством асимптотической свободы.
На первый взгляд кажется, что выражение (3.5) можно сформулировать на квантовом языке, непосредственно интерпретируя классические поля как квантовые. Однако из квантовой электродинамики известно, что это не так. Калибровочная инвариантность приводит к тому, что поля B определены не однозначно, так как можно выполнить преобразования типа преобразований (3.1), которые меняют вид коммутационных соотношений. Это происходит потому, что частицы, соответствующие полям B, обладая нулевой массой, имеют только две степени свободы, тогда как сами поля Bμ имеют четыре независимые компоненты. Для того чтобы выполнить квантование, нужно выбрать определенные представления каждого калибровочного класса (фиксировать калибровку), что явно нарушает калибровочную инвариантность теории. По сравнению с абелевыми теориями, в которых кванты калибровочного поля не взаимодействуют между собой, самодействие глюонов приводит к дополнительным трудностям. Так, например, лоренц-ковариантные калибровки требуют введения вспомогательных нефизических полей5a) (ду́хов), которые восстанавливают калибровочную инвариантность и унитарность. С другой стороны, можно выбрать калибровки, свободные от ду́хов (аксиальные калибровки), но при этом явно нарушается лоренц-инвариантность теории.
5a Специфические калибровки с духами можно построить и для абелевых теорий
Прежде чем рассматривать квантовую теорию, для полноты изложения выпишем уравнения движения для классических полей, соответствующие лагранжиану (3.5). Уравнения движения Эйлера — Лагранжа для поля Φ определяются из условия стационарности действия Α=∫d4xℒ(x), которое записывается в виде
∂
μ
∂ℒ
=
∂ℒ
;
∂(∂
μ
Φ)
∂Φ
и, следовательно, в случае лагранжиана (3.5) приводит к следующим уравнениям движения для полей q и В:
q
(x)(i
⃖
D
+m)=0 ,
(i
D
-
m)q(x)
=
0
,
D
G
μν
(x)
≡
∂
μ
G
μν
(x) + g
∑
ƒ
B
(x)G
μν
(x) = 0 .
μ
a
a
abc
bμ
c
(3.6)
§ 4. Каноническое квантование, фиксация калибровки, ковариантные калибровки
Попытаемся проквантовать свободные глюонные поля. Лагранжиан (янг-миллсовский) для свободного глюонного поля имеет вид
ℒ
0
= -
1
∑
G
0μν
G
0a
,
YM
4
a
μν
G
0μν
= ∂
μ
B
0ν
- ∂
ν
B
0μ
;
a
a
a
(4.1)
здесь индекс 0 обозначает свободные поля. Выражение (4.1) аналогично лагранжиану, описывающему восемь невзаимодействующих электромагнитных полей. Оно инвариантно относительно свободных калибровочных преобразований:
B
0μ
→ B
0μ
- ∂
μ
.
a
a
a
(4.2)
Рассмотрим проблемы и преимущества, связанные с калибровочной инвариантностью. В силу того что поля B определены неоднозначно, невозможно непосредственно проквантовать лагранжиан (4.1). В самом деле, предположим, что для этого применяется стандартная процедура канонического квантования. Определим импульсы, канонически сопряженные полям B0a. Опуская индексы 0, обозначающие свободные поля, для импульсов π получаем выражения
π
μ
(x) =
∂ℒ
YM
= G
μ0
,
a
∂(∂
0
B
aμ
)
a
(4.3)
из которых видно, что нулевые компоненты импульсов π0a(x) тождественно равны нулю. Канонические коммутационные соотношения записываются в виде
[π
μ
(x),B
ν
(y)]δ(x
0
- y
0
) = -iδ
