+
ν
l
γ ,
K
+
→l
+
ν
l
γ ,
l=e, μ,
которые тесно связаны с процессом π0→γγ. Мы рассмотрим первый из этих распадов; распад K+-мезона может быть исследован тем же методом с очевидными изменениями (замена s-кварка на d-кварк и т.д.).
Рис. 26. Процесс π→(lνl)вектор+γ.
Этот распад происходит в два этапа: на первом из них лептонный ток аксиален, а на втором он носит векторный характер. Последний связан с вакуумным средним (обозначение кинематических переменных см. на рис. 26):
T
μν
W
(p,k)
=
∫
𝑑
4
x
𝑑
4
y
e
i(x⋅p+y⋅k)
⟨TV
μ
(x)J
ν
(y)∂A(0)⟩
0
,
(34.1)
где, как и раньше, J - электромагнитный ток, а A и V определяются формулами
V
μ
=
u
γ
μ
d,
A
λ
=
d
γ
λ
u.
Использование уравнений движения приводит к равенствам
∂
μ
V
μ
=
i(m
u
-m
d
)
u
d,
(34.2)
∂
λ
A
λ
=
i(m
u
+m
d
)
d
γ
5
u.
(34.3)
Дивергенция электромагнитного тока, конечно, равна нулю. Как и при изучении распада π0→γγ, рассмотрим вакуумное среднее
R
μνλ
W
(p,k)=i
∫
𝑑
4
x
𝑑
4
y
e
i(x⋅p+y⋅k)
⟨TV
μ
(x)J
ν
(y)A
λ
(0)⟩
0
,
(34.4)
которое представим в виде
R
μνλ
W
(p,k)
=
ε
μνλρ
p
ρ
Φ
1
+
ε
μνλρ
k
ρ
Φ
2
+O(p³,k³).
(34.5)
Свертка этого выражения с компонентой импульса kν приводит к равенству Φ1=0, но если массы кварков mu и md различны, то требовать выполнения равенства pμRμνλ=0 нельзя. Вместо этого имеют место равенства
p
μ
R
μνλ
=
ε
μνλρ
p
μ
k
ρ
Φ
2
,
q
λ
R
μνλ
=
ε
μνλρ
p
λ
k
ρ
Φ
2
.
Таким образом, мы приходим к соотношению
p
μ
R
μαβ
=
q
λ
R
αβλ
.
(34.6)
Учитывая формулу (34.2), для левой и правой частей получаем
p
μ
R
μαβ
=
i(m
b
-m
u
)
∫
𝑑
4
x
𝑑
4
y
e
i(x⋅p+y⋅k)
⟨TS(x)J
α
(y)A
β
(0)⟩
0
,
(34.7)
q
λ
R
αβλ
=
i(m
d
+m
u
)
∫
𝑑
4
x
𝑑
4
y
e
i(x⋅p+y⋅k)
⟨TP(0)J
β
(y)V
α
(x)⟩
0
+a
αβ
,
(34.8)
где использованы обозначения
S(x)≡
u
(x)d(x),
P(x)≡
d
(x)γ
5
u(x),
а тензор aαβ представляет собой аномалию. Если ввести тензор Sαβ по формуле Sαβ=pμRμαβ, то из уравнений (34.6) и (34.8) получим
T
αβ
W
+S
αβ
=a
αβ
.
Как показано в § 33, тензор aαβ не зависит от масс кварков, и поэтому окончательно получаем
T
αβ
W
+S
αβ
=
-1
2π²
ε
αβρσ
p
ρ
k
σ
.
(34.9)
Если бы масса u-кварка mu была равна массе d-кварка md, то тензор Sαβ был бы равен нулю и мы получили бы
T
αβ
W
=
T
αβ
=
-1
2π²
ε
αβρσ
p
ρ
k
σ
.
(24.10)
т.е. векторная часть распада π+→e+νγ с точностью до известных факторов была бы равна амплитуде распада π0→γγ (см., например, [ 8 ]). Поскольку массы u- и d-кварков не равны (mu≠md) в соотношение (34.10) должны быть внесены поправки. В общем случае вычислить их не удается, но есть одна ситуация, для которой точный результат может быть доказан во всех порядках теории возмущений квантовой хромодинамики49в). Если mu=0, то преобразования
49в) См. работу [38]. В отличие от случая аномалии неизвестно, влияют ли на этот результат непертрубативные поправки.
u→γ
5
u,
d→d
являются преобразованиями симметрии для лагранжиана КХД. При этих преобразованиях
S
+
→P,
A→V,
и, таким образом, справедливо равенство TαβW=Sαβ. Поэтому мы модифицируем выражение (34.10) так, чтобы оно имело вид
T
αβ
W
=
-1
4π
ε
αβρσ
p
ρ
k
σ
