0
𝑑x ƒ
exp
²
(x,Q²)≈0.43±0.03, (Q²≈ от 30 до 100 ГэВ²),
а теоретически вычисленное (с учетом глюонного вклада) значение равно38а)
38а) Заметим, что нейтрино ν или электроны (мюоны) e (μ), используемые в качестве пробных частиц, взаимодействуют только с кварками и позволяют экспериментально определить только структурную функцию ƒF. Для непосредственного измерения структурной функции ƒV необходимы пробные частицы, взаимодействующие с глюонами.
∫
1
0
𝑑x ƒ
th
²
(x,Q²)≈
12
28
=0.43.
Анализ этих соотношений в ведущем порядке теории возмущений был выполнен в работе [162], хотя импульсные правила сумм (только на кварковом уровне) обсуждались уже в обзоре [193].
2. Поведение структурных функций в крайних точках
Начнем с рассмотрения поведения несинглетных структурных функций в пределе x→1. Предположим, что функции ƒNS обладают асимптотическим поведением вида
ƒ
NS
(x,Q²)
≈
x→1
A(Q²)(1-x)
ν(αs)
,
(23.8)
к которому могут существовать логарифмические поправки (см. ниже). В действительности соотношение (23.8) можно доказать в рамках квантовой хромодинамики, но мы не будем делать этого здесь 38б). Исходя из общих соображений, следует ожидать, что поведение структурных функций в пределе x→1 связано с поведением моментов от структурных функций при больших значениях n. Легко убедиться, что
38б) См. работу [54] и цитируемую там литуратуру.
d(n)
≈
x→∞
-16
33-2nƒ
⎛
⎜
⎝
log n-
3
4
+γ
E
+O
⎛
⎜
⎝
1
n
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
.
(23.9)
Используя асимптотику (23.8), для моментов получаем выражение
μ
NS
(n,Q²)
≈
n→∞
A(Q²)
Γ(n-1)Γ[1+ν(αs)]
Γ[n+ν(αs)]
,
а из соотношений (23.9) и (20.6) для отношения моментов находим
μ
NS
(n,Q
2
)
μNS(n,Q
2
0 )
≈
n→∞
exp
⎧
⎨
⎩
⎡
⎢
⎣
log
α
s
(Q
2
)
αs(Q
2
0 )
⎤
⎥
⎦
16
33-2nƒ
⎛
⎜
⎝
log n-
3
4
+γ
E
⎞
⎟
⎠
⎫
⎬
⎭
.
Приравнивая результаты, находим точный вид коэффициентов A и ν и выражения для асимптотики структурной функции в пределе x→1:
ƒ
NS
(x,Q²)
≈
x→1
A
0NS
[α
s
(Q²)]
-d0
(1-x)νNS(αs)
Γ[1+νNS(αs)]
(23.10 а)
ν
NS
(α
s
)
=
ν
NS0
-
16
33-2nƒ
log α
s
(Q²) ,
d
0
=
16
33-2nƒ
⎛
⎜
⎝
3
4
-γ
E
⎞
⎟
⎠
.
(23.10 б)
Константы ν0 и A0NS теоретически рассчитать не удается, но ожидаемое значение параметра ν0NS лежит в пределах от 2 до 3 [122].
Для синглетного случая вычисления усложняются из-за матричного характера уравнений. Было найдено, что асимптотическое поведение структурных функций для глюонов отличается от (23.8), но асимптотики структурных функций для кварков сходны с асимптотиками несинглетных структурных функций (см. работы [194, 199], в которых содержатся также вычисления во втором порядке теории возмущений). Эти асимптотики имеют вид
ƒ
F
(x,Q²)
≈
x→1
A
0S
[α
s
(Q²)]
-d0
(1-x)νS(αs)
Γ[1+νs(αs)]
,
(23.11)
ƒ
V
(x,Q²)
≈
x→1
2
5
A
0S
[α
s
(Q²)]
-d0
(1-x)νS(αs)+1
Γ(2+νS(αs))|log(1-x)|
.
(23.12)
Здесь d0 определяется формулой (23.10 б), а параметр νS выражается такой же формулой, как νNS :
ν
S
(α
s
)=ν
0S
-
16
33-2nƒ
log α
s
(Q²) .
Коэффициенты A0S и ν0S в рамках теории возмущений КХД получить нельзя. Можно утверждать следующее: во-первых, глюонные структурные функции в пределе x→1 стремятся к нулю быстрее, чем синглетные структурные функции кварков, и, во-вторых, все структурные функции быстро убывают в пределе x→1 при Q²→∞. Эти выводы подтверждаются всеми экспериментальными данными.
Поправки второго порядка теории возмущений несколько изменяют функциональный вид асимптотик структурных функций в пределе x→1. Например, для несинглетных структурных функций с учетом поправок второго порядка получаем [150]
ƒ
NS
(x,Q²)
≈
x→1
A
0NS
[α
s
(Q
2
)]
-d0
ea(αs)αs(Q²)
Γ[1+ν1NS(αs)]
×
(1-x)
ν1NS(αs)+2αs[log(1-x)]/3π
