-1
ƒ
NS
2
(x,Q²)=
1
3
Q
N
⎧
⎨
⎩
1+
13+8ζ(3)-π²
33-2nƒ
⋅
αs(Q²)
3π
⎫
⎬
⎭
.
(23.2)
Аналогично в случае рассеяния нейтрино правило сумм Адлера справедливо при любых значениях квадрата 4-импульса Q² :
∫
1
0
𝑑x x
-1
{ƒ
μp
2
-ƒ
νp
2
}=2.
(23.3)
Соответствующим оператором здесь является оператор изоспина.
Поправок к уравнению (23.3) не возникает, так как его можно связать с одновременным коммутатором алгебры токов (см. § 10 и работу [6]). В процессах электророждения благодаря четности структурной функции ƒ2 соответствующие поправки приводят к неравенству γ(1)+NS≠0. Обсуждение этого вопроса см. в статье [194].
Структурная функция ƒ3 удовлетворяет правилу сумм Гросса-Лавеллин-Смита [158]
∫
1
0
𝑑x x
-1
ƒ
νI
3
(x,Q²)=3
⎧
⎨
⎩
1+
αs(Q²)
π
+O(α
2
s
)
⎫
⎬
⎭
.
(23.4)
Другие правила сумм, которым удовлетворяют несинглетные структурные функции, можно найти в обзоре [55] (см. также [27]).
Обратимся теперь к синглетным структурным функциям. В этом случае сохраняющиеся операторы отвечают значению n=2. Этот факт находит свое отражение в равенствах det γ(0)(2)=det γ(1)(2)=0. Поскольку синглетные структурные функции всегда четные, нет необходимости различать величины γ(1)+ и γ(1)- , так как всюду входит только одна из них γ(1)+≡γ(1). В самом деле [149],
γ
(0)
(2)
=
1
9
⎛
⎜
⎝
64
-12n
ƒ
-64
12n
ƒ
⎞
⎟
⎠
,
(23.5 а)
γ
(1)
(2)
=
1
243
⎛
⎜
⎝
65[367-39n
ƒ
]
-3666n
ƒ
-64[367-39n
ƒ
]
3666n
ƒ
⎞
⎟
⎠
.
(23.5 б)
Нормировка функции ƒV априори произвольна; выберем ее таким образом, чтобы собственный вектор, отвечающий нулевому собственному значению матрицы γ, был в точности равен сумме. Сохраняющимся оператором является тензор энергии-импульса (см. (10.2))
Θ
μν
=i
∑
ƒ
q
ƒ
γ
μ
D
ν
q
ƒ
+
g
αβ
G
μα
G
βν
-g
μν
ℒ.
Член gμνℒ приводит к вкладам величины O(M²/Q²), которыми в данном случае можно пренебречь. Таким образом, находим
∫
1
0
𝑑x {ƒ
F
2
(x,Q²)+ƒ
V
2
(x,Q²)}=δ
⎧
⎨
⎩
1+c
2
αs(Q²)
π
+O(α
2
s
)
⎫
⎬
⎭
,
(23.6)
где параметры δ и c2 зависят от типа рассматриваемого процесса. В процессах электророждения
δ
ep
=⟨Q
2
ƒ
⟩, c
2
=-5/9,
где ⟨Q2ƒ⟩ — средний заряд возбуждаемых кварков различных ароматов. Для процессов νI и νp-рассеяния параметр δ принимает значения
δ
νI
=1, δ
νp
=2/3.
В действительности в пределе Q²→∞ можно вычислить интегралы отдельно для каждой из функций ƒi2 , i=1, 2. Это обусловлено тем, что при n=2
d
+
(2)=0, d
-
(2)=
2
3
⋅
16+3nƒ
33-2nƒ
>0 .
Следовательно, в ведущем порядке по константе связи αs можно написать (матрица S определена в (21.12))
⃗
μ(2,Q²)
=
Q²→∞
S
(2)
⃗
b(2),
⃗
b(2)=b
⎛
⎜
⎝
1
0
⎞
⎟
⎠
с некоторым коэффициентом, не зависящим от квадрата 4-импульса Q² . Таким образом,
∫
1
0
𝑑x ƒ
F
2
(x,Q²)
=
Q²→∞
δ
3nƒ
16+3nƒ
,
∫
1
0
𝑑x ƒ
V
2
(x,Q²)
=
Q²→∞
δ
16nƒ
16+3nƒ
.
(23.7)
К сожалению, поправки к (23.7) имеют вид
K[α
s
(Q²)]
-d-(2)
где коэффициент K пока вычислить не удается. (Но поправки порядка O(αs) к выражениям (23.7) известны; см., например, [194].) Выражения (23.7) принадлежат к числу тех, которые явно демонстрируют существование глюонов. Если бы глюонов не существовало, то весь импульс адрона распределялся бы между кварками и был бы справедлив результат
∫
1
0
𝑑x ƒ
F
²
(x,Q²)≈δ ,
который, скажем, для кварков четырех ароматов nƒ=4 вдвое превышает экспериментальное значение. Например, для процесса νI-рассеяния [87] получено значение
∫
1
