[(p
ƒ
-k)⋅/k⋅u]]} .
(22.9)
Запишем теперь знаменатель выражения (22.9) в виде
(p
ƒ
-k)²=-μ-2k
0
p
0
ƒ
2k
3
p
3
ƒ
cos θ
Он обращается в нуль только при условии cos θ=1, т.е. в случае коллинеарности векторов k и pƒ . (Это условие определяет также глюоны, приводящие к поправкам к явлению скейлинга.) Таким образом, во всех других случаях можно положить cos θ=1, так что, в частности, δ-функция в выражении (22.9) принимает вид
δ[(p
ƒ
-k+q)²]
=δ(2ν-Q²-2Qk
0
=δ
⎡
⎢
⎣
2ν
⎛
⎜
⎝
1-x-
Qk0
ν
⎞
⎟
⎠
⎤
⎥
⎦
Удобно ввести обозначение
1-
Qk0
ν
≡
ρ ,
(22.10)
и записать δ-функцию в виде.
δ[(p
ƒ
-k+q)²]
=
1
2ν
δ(ρ-x) .
Кроме того, мы видим, что в случае cos θ=1 выполнено условие
k
θ=0,π
=
(1-ρ)p
ƒ
Теперь легко завершить вычисление выражений (22.8):
Φ
μν
log
=
-2π
∫
+1
-1
𝑑cosθ
∫
∞
0
𝑑k0⋅k0
2
⋅
1
ν
δ(ρ-x)
1+ρ2
1-ρ
×
Trγμ(ρpƒ+q)γνpƒ
2k0p
0
ƒ cosθ-(μ²+2k0p
0
ƒ )
log
=
⎛
⎜
⎝
log
Q²
μ²
⎞
⎟
⎠
π
2ν
∫
𝑑ρ
1+ρ²
1-ρ
Tr{γ
μ
(ρ
p
ƒ
+
q
)γ
ν
p
ƒ
}δ(x-ρ) .
Таким образом, для структурной функции ƒ2 получаем следуюший результат (обозначения очевидны):
w
2
=4C
F
g²
16π²
∫
𝑑ρ
1+ρ²
1-ρ
ρδ(x-ρ)log
Q²
μ²
(22.11)
Выражение (22.11) не дает окончательного ответа, так как оно не определено при ρ=1. Эта неопределенность обусловлена глюонами нулевой энергии, которые приводят к характерной инфракрасной расходимости. В действительности можно убедиться в том, что эта расходимость точно сокращается радиационными поправками к вершине и пропагатору, которые мы еще не приняли во внимание. Так как реальный глюон при этом не испускается, вклад таких поправок в выражение для w2 должен быть аналогичен (22.11) с точностью до замены (1+ρ²)/(1-ρ) на λδ(ρ-1). Суммируя все члены, получаем
w
2
=
C2(F)αglog Q²/μ²
π
∫
𝑑ρ ρδ(x-ρ)
⎧
⎨
⎩
1+ρ²
1-ρ
+λδ(1-ρ)
⎫
⎬
⎭
.
(22.12)
Таким образом, определена искомая поправка к уравнению (22.7), которая имеет вид36в)
36в) В выражениях (22.1За), (22.136) уже учтено правильное значение параметра λ.
q
ƒ
(x,t)
=
∫
1
0
𝑑y
∫
1
0
𝑑z δ(zy-1)q
ƒ
(y,t)
⎧
⎨
⎩
δ(z-1)+
αgt
4π
P
(0)
NS
(z)
⎫
⎬
⎭
,
P
(0)
NS
=
C
F
⎧
⎨
⎩
3δ(1-z)-2
1+z²
(1-z)+
⎫
⎬
⎭
,
(22.13 а)
где для любой функции φ введено определение
∫
1
0
𝑑z
1
(1-z)+
≡
∫
1
0
𝑑z
φ(z)-φ(1)
1-z
(22.13 б)
Заметим, что если эти коэффициенты P(0)NS идентифицировать с получеными ранее коэффициентами, то можно проверить, что они действительно удовлетворяют уравнению (22.4). Именно благодаря этому нет необходимости вычислять коэффициент λ при δ(ρ-1); он непосредственно фиксируется условием γ(0)NS=1 (или условием det γ(0)(2)=0 для синглетного случая).
Теперь можно сравнить выражения (22.13) и (22.5). Фактически достаточно считать константу g определенной в точке - μ² и заменить переменную t дифференциалом 𝑑t, чтобы записать выражения (22.13) в инфинитезимальном виде.
Рис. 18. Лестничная диаграмма для несинглетного или фермионного рассеяния.
Но существует и более интересный метод. Предположим, что может быть действительно испущено произвольное число глюонов. Тогда нужно просуммировать все диаграммы, содержащие глюон в конечном состоянии. Эта задача, конечно, неразрешима. Но она сильно упрощается, если ограничиться рассмотрением только ведущих логарифмических членов. Можно показать [155], что в этом случае дают вклад только лестничные диаграммы (рис. 18). Оказывается, что эти диаграммы можно вычислить и даже просуммировать. Таким образом, мы воспроизведем результаты стандартных вычислений, получив при этом два преимущества. Во-первых, очевидно, что использование ведущего приближения по бегущей константе связи эквивалентно суммированию всех ведущих логарифмических членов по константе αg: αng logn(Q²/μ²). Во-вторых, такое рассмотрение дает некоторые указания, как рассчитывать те процессы, для которых метод операторного разложения неприменим. Мы не будем углубляться в изучение этого вопроса, а сошлемся на книгу [226] и цитированную в ней литературу.
Во втором порядке теории возмущений ядра рассмотренных уравнений были вычислены в работах [84, 131].
