q
ƒ
(x,t)=
∫
1
0
dy
y
δ(y/x-1)q
ƒ
(x,t) .
(22.7)
Конечно, уравнение (22.7) справедливо только в нулевом порядке теории возмущений по константе связи g (модель свободных партонов). Вследствие взаимодействия кварков и глюонов в это уравнение должны быть введены поправки. Их можно разделить на две группы. Первую группу составляют радиационные поправки к вершине взаимодействия фотона с кварком и к кварковому пропагатору на рис. 17, а. Эти поправки описываются диаграммами рис. 17, в. Вторую группу составляют поправки, обусловленные возможностью испускания кварком реального глюона (рис. 17, б). Рассмотрим сначала поправки второго типа. Амплитуда процесса излучения кварком реального глюона имеет вид37)
37) Это выражение нормировано таким образом, что в том случае, если бы фотон γ* был реальным, амплитуда рассеяния удовлетворяла бы условию F(γ*+q→G+q)=εμ𝓐μ .
𝓐
μ
=(2π)
-2
u
(p
ƒ
-k+q,σ')γ
μ
i
pƒ-k
iγ
α
gt
α
ij
u(p
ƒ
,σ)ε
*
α
(k,λ) .
Следовательно, вероятность этого процесса пропорциональна тензору
w
μν
=
½
∫
𝑑⃗k
2k0
⋅
𝑑⃗k'
2k'0
δ(p
ƒ
+q-k-p')
∑
spins
𝓐
μ*
𝓐
ν
=
½
∑
σ,σ',λ
∑
a,j
∫
𝑑
4
kθ(k
0
)
×
δ(k²)θ(p
0
ƒ
-k
0
+q
0
)δ[(p
ƒ
-k+q)
2
]
𝓐
μ*
𝓐
ν
.
Заметим еще раз, что испускается реальный глюон, поэтому следует использовать соотношение
∑
λ
ε
u
(k,λ)ε
*
β
(k,λ)
=-g
αβ
+
kαuβ+kβuα
k⋅n
,
где применена светоподобная калибровка
k⋅ε=u⋅ε=0 ,
u²=0 .
Учитывая эти выражения и вводя обозначение δ+(v²)=δ(v²)θ(v0) , получаем
w
μν
=
1
2(2π)²
g²C
F
Φ
μν
,
(22.8 а)
Φ
μν
=
∫
𝑑
4
kδ
+
(k²)δ
+
[(p
ƒ
-k+q)²]
⎛
⎜
⎝
-g
αβ
+
kαuβ+kβuα
k⋅u
⎞
⎟
⎠
×
Tr(pƒ-k)γμ(pƒ-k+q)γν(pƒ-k)γβpƒγα
(pƒ-k)4
.
(22.8 б)
В случае безмассовых кварков и глюонов выражения (22.8) оказываются расходящимися, и их следует регуляризовать. Для этого можно использовать размерную регуляризацию, но проще считать исходный кварк виртуальным: p²ƒ=-μ². Благодаря компактности области интегрирования при этом может возникнуть только логарифмически расходящийся член, который, как будет показано ниже, имеет вид log (Q²/p²ƒ). На самом деле, только этот логарифмический член нас и интересует; это существенно облегчает вычисления.
Прежде всего в выражениях (22.8) всюду, за исключением знаменателя, можно положить p²ƒ=0; поправки будут иметь величину O(μ²/Q²). Таким образом, получаем
⎛
⎜
⎝
-g
αβ
+
kαuβ+kβuα
k⋅u
⎞
⎟
⎠
Tr(
p
ƒ
-
k
)γ
μ
(
p
ƒ
-
k
+
q
)γ
ν
(
p
ƒ
-
k
)γ
β
p
ƒ
γ
α
=
-2(p
ƒ
-k)²
⎧
⎨
⎩
Trγ
μ
(
p
ƒ
-
k
+
q
)γ
ν
k
+Trγ
μ
(
p
ƒ
-
k
+
q
)γ
ν
×
[(p⋅u)(
p
ƒ
-
k
)+(p
ƒ
-k)⋅u
p
+2k⋅
p
ƒ
u
]
1
u⋅k
⎫
⎬
⎭
.
Так как p²ƒ=k²=0, выполняется равенство 2kpƒ=-(pƒ-k)². Следовательно, последний член в полученном уравнении пропорционален (pƒ-k)4 и не дает вклада в логарифмический член. Используя обозначения log= , которое означает, что логарифмические члены в левой и правой частях уравнения равны, получаем
Φ
μν
log
=
-2
∫
𝑑⃗k
2k0
δ
+
[(p
ƒ
-k+q)²]
1
(pƒ-k)²
×
Tr{γ
μ
(
p
ƒ
-
k
+
q
)γ
ν
k
+μ
ν
(
p
ƒ
-
k
+
q
)γ
ν
×
[(
p
ƒ
-
k
)(p
ƒ
⋅u/k⋅u)+
p
ƒ
