C
n
2NS
(Q²/μ²,g²(μ)/4π)
=
C
n
2NS
(1,0)
⎛
⎜
⎝
log Q²/Λ²
log μ²/Λ²
⎞d(n)
⎟
⎠
,
(20.5)
где аномальная размерность d(n) определяется формулой
d(n)
= -γ
(0)
NS
(0)/2β
0
.
(20.6 а)
Коэффициенты Cn2NS(1,0) равны просто вильсоновским коэффициентам, полученным в § 18 для случая свободных полей. Неизвестные константы An и μ² можно исключить, нормируя на заданное значение Q²0 , достаточно большое, чтобы константа связи αs(Q²0) была малой и было оправданно применение теории возмущений. В результате получаем уравнения КХД, описывающие в ведущем порядке теории возмущений зависимость моментов μ от переменной Q² . Опуская некоторые индексы, находим решения этих уравнений: для несинглетного случая
μ
NS
(n,Q²)
=
⎡
⎢
⎢
⎣
αs(Q
2
0 )
αs(Q
2
)
⎤d(n)
⎥
⎥
⎦
μ
NS
(n,Q
2
0
)
(20.6 б)
и для синглетного случая
⃗
μ(n,Q²)
=
⎡
⎢
⎢
⎣
αs(Q
2
0 )
αs(Q
2
)
⎤ⅅ(n)
⎥
⎥
⎦
⃗
μ(n,Q
2
0
);
ⅅ(n)
=
-γ
(0)
(n)/2β
0
.
(20.7)
Рис. 14. Диаграммы, используемые при вычислении коэффициента ZNSn.
Остается лишь вычислить аномальные размерности γ(0)NS и γ(0)(n) . Сначала нужно вывести фейнмановские правила диаграммной техники для операторов N. Они получаются прямым вычислением (см. § 42) и приведены в приложении Д. Затем надо вычислить перенормировочные константы для операторов N. Результат для синглетного случая можно найти в работе [162]. Здесь мы рассмотрим вычисление величин Nμ1…μnNS , которым соответствуют диаграммы рис. 14. В фейнмановской калибровке диаграмма рис. 14, а дает
V
Aij
=i
5
g²
∫
d
D
k
̂
γμkΔ(Δ⋅k)n-1kγν(-gμν)
k4(k-p)²
∑
a,l
t
a
il
t
a
lj
.
Для того чтобы вычислить перенормировочный множитель Z , достаточно знать расходящуюся часть коэффициента при величине (Δ⋅p)n-1Δ . Будем использовать обозначение aeff=b , которое означает, что величины а и b имеют одинаковые расходящиеся части. После стандартных выкладок получаем
V
Aij
=
ig²C
F
δ
ij
∫
1
0
dx(1-x)
×
∫
d
D
l
̂
-2γα(l+xp)Δ(l+xp)γα[Δ⋅(l+xp]n-1
(l²+x(1-x)p²)³
.
Расходящаяся часть члена, пропорционального величине (Δ⋅p)n-1Δ легко выделяется и имеет вид
V
Aij
eff
=
ig²δ
ij
C
F
∫
1
0
dx(1-x)
∫
dDl̂
[l²+x(1-x)p²]³
×
⎧
⎨
⎩
-
2l²
D
γ
α
γ
β
Δ
γ
β
γ
α
x
n-1
⎫
⎬
⎭
Δ
(
Δ
⋅p)
p-1
=
g²
16π²
N
ε
C
F
2
n(n+1)
(
Δ
⋅p)
n-1
Δ
δ
ij
.
(20.8)
Вклад диаграммы рис. 14, б описывается выражением
V
Bij
=
-i³g²C
F
δ
ij
×
∫
d
D
k
̂
ΔμΔ {∑
n-2
l=0 (Δ⋅p)l[Δ⋅(p+k)]n-l-2(p+k)γμ
k²(k+p)²
.
Здесь также необходимо найти коэффициент при величине (Δ⋅p)n-1Δ. Повторяя ту же процедуру, получаем
V
Bij
eff
=
2ig²C
F
δ
ij
Δ
∫
1
0
dx
∫
d
D
q
̂
∑
n-2
l=0 (Δ⋅p)l[Δ⋅q+xΔ⋅p]n-1-l
(q²+x(1-x)p²)²
eff
=
-2
g²Nε
16π²
C
F
δ
ij
(
Δ
⋅p)
n-1
Δ
∫
1
0
dx
n-1
∑
l=1
x
l
=
g²
16π²
