25 Более строгое рассмотрение этого вопроса дано в статье [ 29] и а цитированных там работах.
§16. Зависимость параметров теории и вычислений от выбора перенормировочной схемы
В квантовой электродинамике существует естественная перенормировочная схема, задаваемая тем фактом, что фотон и электрон находятся на массовой поверхности. Преимущество такой схемы следует из теоремы Тирринга [245], согласно которой при нулевой энергии фотона амплитуда комптоновского рассеяния (во всех порядках по константе α) точно дается классической формулой. Таким образом, для определения фундаментальных параметров теории α и me можно пользоваться классическими выражениями. В квантовой хромодинамике такой выделенной схемы, основывающейся на физических соображениях, нет. Таким образом, необходимо обсудить вопрос об изменениях, возникающих при переходе от одной перенормировочной схемы к другой. Пренебрежем массами кварков и калибровочными параметрами; их введение не внесет каких-либо дополнительных проблем, отличных от обсуждаемых здесь.
Рассмотрим некоторую физически наблюдаемую величину P. Очевидно, она не должна зависеть от перенормировочной схемы, использованной в процессе вычислений. Однако если эту величину представить в виде ряда по степеням константы связи
P=
∑
n
C
n
(R)[α
s
(R)]
n
,
(16.1)
то коэффициенты Cn и константа связи αs будут зависеть от используемой схемы перенормировки R. Если перейти к новой перенормировочной схеме R' то связь между старой и новой схемами можно найти следующим образом. Разложим величину P, вычисленную в рамках новой перенормировочной схемы, в ряд по степеням константы связи αs(R') :
P=
∑
n
C
n
(R')[α
s
(R')]
n
,
(16.2)
Подставляя в формулу (16.2) выражение для αs(R'), записанное в виде ряда по константе αs(R), и приравнивая члены одинакового порядка в (16.2) и (16.1), найдем связь между коэффициентами, вычисленными в исходной и в новой перенормировочных схемах. Разложение константы αs(R') по степеням константы αs(R) можно записать в виде
α
s
(R')=α
s
(R)
{1+a
1
(R',R)α(R)+…}.
Очевидно, что первым членом разложения является единица, так как в нулевом порядке теории возмущений αs=g22/(4π) не зависит от выбора схемы. Это означает, что C0,1(R)=C0,1(R'). Но все остальные коэффициенты при переходе от одной перенормировочной схемы в другой изменяются:
C
2
(R)=C
2
(R')+a
1
(R',R)C
1
(R')
и т.д.
Рассмотрим, например, величну R, введенную в предыдущем параграфе26. Если ее вычислить в схеме минимального вычитания (в которой устраняются только полюса 2/ε, а не вся комбинация Nε=2/ε-γE+log4π), то вместо формулы (15.10) получим
26Подробное обсуждение этого вопроса для процессов глубоконеупругого рассеяния можно найти в статье [27]
R
(2)
ms
(s)
=
3
nƒ
∑
ƒ=1
Q
2
ƒ
⎧
⎨
⎩
1+
αs,ms(Q2)
π
+r
2,ms
⎧
⎪
⎩
αs,ms(Q2)
π
⎫2
⎪
⎭
⎫
⎬
⎭
,
r
2,ms
=
r
2
(log4π-γ
E
)
33-2nƒ
12
.
(16.3)
Выражение для константы связи αs,ms также отличается от формулы (14.4в). Оно имеет вид
α
s,ms
(Q
2
)
=
12π
(33-2nƒ)log Q2/Λ2
×
⎧
⎨
⎩
1-3
153-19nƒ
(33-2nƒ)2
⋅
loglog Q2/Λ2
½log Q2/Λ2
-
log4π-γE
log Q2/Λ2
⎫
⎬
⎭
.
(16.4)
Можно сохранить формулу (14.4в) для константы связи αs, если определить новый параметр обрезания Λms следующим образом:
Λ
2
ms
=
e
γE-log 4π
Λ
2
.
(16.5)
Тогда выражение (16.4) запишется в виде
α
s,ms
(Q
2
)
=
12π
(33-2nƒ)log Q2/Λ
2
ms
⎧
⎨
⎩
1-3
153 -19nƒ
(33-2nƒ)2
⋅
loglog Q2/Λ
2
ms
½log Q2/Λ
2
ms
⎫
⎬
⎭
.
(16.6)
с точностью до членов порядка O([αs]3).
К сожалению, часто забывают об этом простом факте: параметры теории можно получить только во втором порядке теории возмущений; в низшем же порядке параметры Λ и Λms взаимозаменяемы, так как возникающая при этом ошибка второго порядка малости. Кроме того, когда приводят значение, например величины Λ (то же справедливо и для эффективной массы m̂), надо указывать, в рамках какой перенормировочной схемы получено это значение. Как параметр обрезания Λ , так и эффективная масса m̂ являются ренормин-вариантными величинами, но они меняются при переходе от одной схемы к другой. В этой книге в основном используется перенормировочная схема MS вследствие ее простоты. В ней не возникает трансцендентных выражений (типа -γE+log4π). К тому же эта схема, вообще говоря, приводит к малым поправкам во втором порядке теории возмущений. Например, в схеме минимального вычитания для величины r2,ms имеем
r2,ms≈7,4 - 0,44nƒ
в то время как в перенормировочной схеме MS эта величина имеет значение 2,0 - 0,12nf.
В этой схеме предпочтительное экспериментальное значение параметра обрезания равно
