C
a
ij
γ
2
16π
2
(9.27 а)
Здесь использованы обозначения
d
D
k̂
≡
d
D
k
ν
4-D
,
(2π)
D
0
C
a
ij
≡
-g
2
∑
t
b
t
c
ƒ
abc
=
1
g
2
[t
b
,t
c
]
ij
ƒ
bca
jl
li
2
=
g
2
i
C
A
t
a
=
3
it
a
g
2
.
2
ij
2
ij
При выводе последнего выражения использовано свойство антисимметрии константы ƒ по отношению к перестановке индексов, благодаря которому можно заменить tbtc на коммутатор ½[tb, tс]. Аналогично получаем выражение для вклада, возникающего от диаграммы рис. 7, в:
iΓ
(c)μ
uij,a
div
=
-i
2
g
∫
d
D
k̂
γ
β
(
p
+
k
)γ
μ
(
p
+
k
)γ
α
g
αβ
C
'a
[(p+k)
2
+i0][(p'+k)
2
+i0](k
2
+i0)
ij
div
=
ig
N
ε
γ
μ
C
'a
.
16π
2
ij
(9.27 б)
Здесь
C
'a
ij
=
g
2
∑
c
(t
c
t
a
t
c
)
ij
= g
2
∑
c
([t
c
,t
a
]t
c
)
ij
+ g
2
(
t
a
∑
c
t
c
t
c
)
ij
=
g
2
t
a
{
-
1
C
A
+C
F
}
.
ij
2
(9.27 в)
При выводе этого выражения использованы формулы приложения В. Таким образом, окончательное выражение для вершины Γ имеет вид
Γ
(2)μ
uij,a
div
=
N
ε
g
3
{
C
A
+C
F
}
it
a
γ
μ
.
16π
2
ij
(9.28)
В перенормировке вершины участвуют множители Zg, ZF и ZB:
V
μ
=Z
-1
Z
-½
Z
V
μ
.
Rij,a
F
B
g
uij,a
(9.29)
Используя полученные выше выражения для перенормировочных множителей ZF и ZB и только что вычисленное значение расходящейся части вершины Γ(2)u, получаем следующий результат для зарядового перенормировочного множителя:
Z
g
=1-
α
g
{
11C
A
-
2
T
F
n
ƒ
}
N
ε
.
4π
6
3
(9.30)
Таким образом,
c
(1)
= -
{
11
-
n
ƒ
}
.
g
2
3
Интересно проследить за сокращением членов, пропорциональных множителю CF. Такое сокращение обязательно должно иметь место в силу того, что зарядовый перенормировочный множитель Zg можно вычислить в рамках чистой глюодинамики, не содержащей фермионов (см. ниже). Очевидно, что такое сокращение происходит благодаря калибровочной структуре теории, см. выражение (9.27в). В следующем порядке теории возмущений функция β вычислена в работах [64, 179]. Вычисления коэффициента c(1)g были проведены Гроссом и Вильчеком [160] и Полицером [218], которые вместо кварк-глюонной вершины q̅qB использовали трехглюонную вершину. Такое вычисление связано с рассмотрением диаграмм рис. 8. Для этих же целей можно использовать вершину взаимодействия глюонов и ду́хов ωωB. Конечно, все способы рассмотрения приводят к одному и тому же результату, что является следствием калибровочной инвариантности теории.
Рис. 8. Трехглюонная вершина.
Следует отметить, что во всех порядках теории возмущений коэффициенты c(n)g, вычисленные в схеме MS , калибровочно-инвариантны [65].
§10. Глобальные симметрии лагранжиана КХД; сохраняющиеся токи
В этом параграфе мы рассмотрим глобальные симметрии лагранжиана КХД. Поскольку процедура перенормировок не меняет структуры лагранжиана, можно пренебречь различием между затравочным и перенормированным лагранжианами.
