μν
q
2
+q
μ
q
ν
)
16π
2
×
nƒ
{
2
N
ε
n
ƒ
-4
∫
1
dx⋅x(1-x)
∑
log
m
2
ƒ
-x(1-x)q
2
}
.
3
0
ν
2
0
ƒ=1
(9.21)
Во втором порядке теории возмущении можно просуммировать все диаграммы рис. 6, в, где кружками обозначены петли кварков, плюонов или ду́хов. Выделяя из поляризационного оператора тензорную структуру вида
Π
μ'ν'
= -δ
a'b'
(-g
μ'ν'
q
2
+q
μ'
q
ν'
)Π,
a'b'
(9.22 а)
получаем аналог выражения (7.5)
D
μν
q = iδ
-g
μν
+q
μ
q
ν
/q
2
u tr;ab
(1-Π)q
2
(9.22 б)
Введем запись
div
ƒ
=
g,
которая означает, что коэффициенты при члене Nε в выражениях для величин ƒ и g равны. Тогда перенормированный глюонный пропагатор D запишется в виде
D
μν
=Z
-1
D
μν
.
R tr;ab
B
u tr;ab
Из уравнений (5.9), (9.20). и (9.21) следует равенство
1-Π
div
=
1+
g
2
{
10C
A
-
8T
F
n
ƒ
}
N
ε
.
32π
2
3
3
Следовательно, в рамках схемы MS в калибровке Ферми - Фейнмана для перенормировочного множителя получаем выражение
Z
B
=1+
α
g
{
10C
A
-
8T
F
n
ƒ
}
N
ε
.
8π
3
3
(9.23)
В произвольной калибровке перенормировочный множитель ZB был вычислен в работах [160, 218]. Соответствующий коэффициент C(1)Bξ равен
C
(1)
=
1
{
10+3ξ-
4n
ƒ
}
.
Bξ
2
3
(9.24)
Опуская вычисления, приведем лишь конечный результат для перенормировочного множителя Zλ17)
17) См., например, работу [222] и цитируемую там литературу. Тождества Славнова-Тейлора, доказанные в § 6, обеспечивают выполнение равенства ZB=Zλ во всех порядках теории возмущений
C
(1)
=C
(1)
λξ
Bξ
(9.25)
Следует отметить, что в калибровке Ландау параметр ξ в однопетлевом приближении не перенормируется. В действительности, как показано в § 6, тождества Славнова — Тейлора обеспечивают справедливость этого утверждения во всех порядках теории возмущений.
Рис. 7. Вершина кварк-глюонного взаимодействия.
В заключение этого параграфа вычислим перенормировочный множитель Zg. Для этого используем вершину ggB. Выбирая обозначения 4-импульсов в соответствии с рис. 7, можно записать выражение для этой вершины во втором порядке теории возмущений в виде (ср. с (9.7))
V
μ
=igγ
μ
t
a
+iΓ
(2)μ
,
uij,a
ij
uij,a
(9.26 а)
где
Γ
(2)μ
(p,p')={Γ
(b)
+Γ
(c)
}
μ
.
uij,a
uij,a
(9.26 б)
Величины Γ(b) и Γ(c) обозначают вклады от диаграмм рис. 7, б и в соответственно. Диаграмма рис. 7, а приводит к первому члену igγt в формуле (9.26 а). Из рассмотренных выше примеров очевидно, что массы кварков не играют pоли в выражениях для перенормировочных множителей Z (за исключением, конечно, множителя Zm), поэтому можно упростить вычисления, положив m=0. При этом следует учитывать только расходящиеся части вершин Γ. Тогда в калибровке Ферми — Фейнмана для рассматриваемой вершины имеем
iΓ
(b)μ
uij,a
div
=
ig
∫
d
D
k̂
×
γβ[(2k-q)μgαβ-(k+q)βgμα+2(q-k)αgμβ](p+k)γα
[(p+k)2+i0][(k-q)2+i0](k2+i0)
C
a
ij
div
=
igC
a
γ
μ
lim
η→0
∫
d
D
k̂
2(2-D)/D-2
ij
(k
2
-iη)
2
div
=
g
3N
ε
