B
μ
→
B
μ
- ε
∑{
δ
ab
∂
μ
-gƒ
abc
B
μ
}
ω
b
,
a
a
c
q→q - iεg
∑
t
a
ω
a
q,
ω
a
→ω
a
-
ε
g
∑
ƒ
abc
ω
b
ω
c
,
2
ω
a
→
ω
a
+ ελ
μ
B
μ
.
a
(6.8)
Используя эти преобразования точно так же, как это делается в случае, квантовой электродинамики, легко получить результат, аналогичный формуле (6.7). Если записать пропагатор в виде суммы продольной и поперечной частей
D
μν
(q)=δ
ab
(-g
μν
q
2
+q
μ
q
ν
)D
tr
+δ
ab
q
μ
q
ν
D
L
,
ab
q
2
(6.9)
то для продольной части имеем
D
L
= -
1
⋅
i
λ
q
2
-i0
(6.10)
Разложим пропагатор D в ряд по степеням константы взаимодействия g2:
D
μν
ab
∑
n=0
⎧
⎩
g²
4π
⎫²
⎭
D
(n)μν
ab
.
Примем во внимание соотношение
D
(2)μν
=
∑
D
(0)μμ'
Π
(2)
D
(0)ν'ν
ab
aa'
a'b'μ'ν'
b'b
(поляризационный оператор Π(2) взят во втором порядке теории возмущений). Из двух последних соотношений получаем следующий результат:
q
μ
Π
(2)μν
=0.
ab
Справедливость этого равенства как раз и проверялась в уравнениях (5.9) и (5.10).
Необходимо отметить, что все проведенные выше выкладки выполнены чисто формальным образом. Так, например, в процессе вычислений мы намеренно закрывали глаза на то, что пропагаторы представляют собой сингулярные функции. Чтобы корректно установить равенства между величинами, необходимо проверить, что к ним можно применять процедуру перенормировок (см. § 7 — 9). В самом деле, некоторые формальные равенства при этом нарушаются; пример такого нарушения приведен в § 33. Однако даже сохраняющиеся при процедуре перенормировок равенства иногда приходится интерпретировать по-новому. Это относится, например, к уравнению (6.10), так как фигурирующий в нем калибровочный параметр заменяется на перенормированный, в результате чего смысл его несколько изменяется.
§ 7. Размерная регуляризация
Как мы видели в примере, приведенном в § 5, некоторые из амплитуд рассеяния оказываются расходящимися. Это происходит из-за сингулярного характера полевых операторов. Легко найти, что расходимость интеграла по dk в (5-46) при больших импульсах k обусловлена тем, что в координатном пространстве в него входят произведения полевых операторов, взятых в одной пространственно-временной точке. Поэтому, чтобы обсуждать квантовую хромодинамику (или любую другую локальную релятивистскую теорию поля), необходимо появляющимся при вычислении фейнмановских диаграмм интегралам придать математически строгий смысл. Эта процедура носит название регуляризации и сводится к замене лагранжиана ℒ регуляризованным лагранжианом ℒε, приводящим при вычислении фейнмановских диаграмм к конечным ответам и в пределе ε→0 переходящим в некотором смысле в исходный лагранжиан ℒ, т.е. ℒε→ℒ. Из классических работ Бора и Розенфельда [46, 47] известно, что полевые операторы по своей природе сингулярны, и, следовательно, любая процедура регуляризации с неизбежностью нарушает некоторые физические особенности теории. Например, регуляризация Паули — Вилларса в случае неабелевой теории нарушает свойства эрмитовости и калибровочной инвариантности, решеточная регуляризация нарушает инвариантность по отношению к преобразованиям Пуанкаре и т.д. Конечно, в пределе ε→0 эти свойства восстанавливаются (если мы были достаточно осторожны!). Свойства калибровочной и лоренц-инвариантности особенно важны в случае КХД, поэтому в дальнейшем мы будем использовать размерную регуляризацию, нарушающую лишь масштабную инвариантность. Этот метод, подробно развитый в работах т’Хофта и Велтмана [253] (см. также [48]), связан с так называемой аналитической регуляризацией [49, 233]. Он состоит в том, что все вычисления проводят в пространстве размерности D=4-ε, в конечном же ответе переходят к физическому пределу при ε→0. При этом расходимости проявляются в виде полюсов по 1/ε. Насколько известно автору, математически строгого определения объекта в пространстве произвольной размерности D не существует, кроме случая, когда она равна положительному целому числу. Но этому не следует придавать слишком большого значения; нам необходимы лишь интерполяционные формулы, обладающие свойством калибровочной и пуанкаре-инвариантности и пригодные для вычисления фейнмановских интегралов. Такие интерполяционные формулы можно получить поэтапно. Рассмотрим сначала сходящийся интеграл вида (2π)D∫dDkƒ(k2), где функция ƒ, как правило, имеет вид ƒ(k2)=(k2)r(k2-a2)-m с целочисленными значениями параметров r и m, а величины dDk и k2 определяются выражениями dDk=dk0dk1…dkD-1, k2=(k0)2-(k1)2-…-(kD-1)2. Так как функция ƒ аналитична в плоскости комплексного переменного k0, контур интегрирования можно повернуть на 90° и перейти от контура (-∞,+∞), к контуру (-i∞,+i∞), т.е. совершить так называемый виковский поворот. Затем можно восстановить интегрирование по прямой (-∞,+∞), определив новую переменную k0→kD=ik0. Таким образом, получаем обычный евклидов интеграл в пространстве размерности D
i
∫
+∞
dk
1
…
∫
+∞
dk
D
ƒ(-k
2
),
k
2
≡
(k
1
)
2
+…+
(k
D
