Начнем с рассмотрения квантовой электродинамики10a). Лагранжиан, записанный в ковариантной калибровке, имеет вид
10a В изложении мы следуем работам [221, 222].
ℒ
ξ
=
ψ
(i
D
- m)ψ -
1
F
μν
F
μν
-
λ
(∂
μ
A
μ
)
2
,
4
2
(6.1)
где тензор Fμν и ковариантная производная Dμ определяются формулами
F
μν
=∂
μ
A
ν
-∂
ν
A
μ
,
D
μ
=∂
μ
+ieA
μ
.
Калибровочная инвариантность лагранжиана нарушается членом -(λ/2)(∂A)2. Однако ее можно восстановить следующим способом. Добавим в лагранжиан (6.1) член вида
ℒ
ω
=-½(∂
μ
ω)∂
μ
ω
(6.2)
соответствующий свободному безмассовому полю ω. Обобщим калибровочные преобразования таким образом, чтобы включить поля ω. Если определить параметры инфинитезимальных преобразований в виде θ(x)=εω(x), то поля, входящие в лагранжиан, преобразуются по формулам
ψ(x)→ψ(x)+ieεω(x)ψ(x),
Aμ→Aμ-ε∂μω(x),
ω(x)→ω(x)-ελμAμ(x).
(6.3)
Тогда С точностью до 4-дивергенции лагранжиан электродинамики, представляющий собой сумму лагранжианов ℒξ и ℒω:
ℒ
ξ
=ℒ
ξ
+ℒ
QED
ω
(6.4)
инвариантен при преобразованиях (6.3). Метод восстановления калибровочной инвариантности для рассматриваемого случая довольно прост. Благодаря тому что поля A не заряжены и не взаимодействуют между собой, поля ω можно выбрать в виде свободных действительных полей. Однако простота лагранжиана ℒω не означает отсутствия глубоких физических следствий его введения. В самом деле, можно показать, что преобразования (6.3) порождают все тождества Уорда квантовой электродинамики, которые, в частности, обусловливают тот факт, что электромагнитное взаимодействие не переводит физические состояния в нефизические. Например, будет показано, как из соотношений (6.3) и (6.4) можно получить условие поперечности фотонного пропагатора. (Конечно, его можно проверить и путем прямого вычисления вакуумной поляризации.)
Рассмотрим величину ⟨ΤAμ(x)ω(0)⟩0. Проведя обобщенное калибровочное преобразование, в первом порядке по параметру ε получаем
λ⟨ΤAμ(x)(∂νAν(0))⟩0 = ⟨Τ(∂μω(x))ω(0)⟩0.
Фурье-образ этого выражения имеет вид
∫
d
4
xe
iq⋅x
ΤA
μ
(x)∂
ν
A
ν
(0)⟩
0
=
iq
ν
∫
d
4
xe
iq⋅x
⟨ΤA
μ
(x)A
ν
(0)⟩
0
=iq
ν
D
μν
(q)
=
-1
∫
d
4
xe
iq⋅x
⟨Τ(∂
μ
ω(x))ω(0)⟩
0
α
=
i
q
μ
∫
d
4
xe
iq⋅x
⟨Τω(x)ω(0)⟩
0
λ
=
1
⋅
q
μ
λ
q
2
+i0
(6.5)
Последнее равенство справедливо в силу того, что поля ω свободные, и, следовательно, их пропагатор имеет вид пропагатора свободных полей. Таким образом, доказано, что если пропагатор Dμν записать в виде суммы поперечной и продольной составляющих
D
μν
(q)
=
(-q
2
g
μν
+q
μ
q
ν
)D
tr
(q
2
)
+
q
μ
q
ν
D
L
(q
2
).
q
2
(6.6)
то последняя имеет вид
D
L
=
-1
⋅
i
λ
q
2
+i0
(6.7)
аналогичный продольной части пропагатора свободных полей. Напомним, что пропагатор свободных полей выражается в виде
D
0μν
(q)
=
i
-g
μν
+(1-λ
-1
)q
μ
q
ν
/(q
2
+i0)
.
q
2
+i0
Другими словами, если пропагатор D разложить в ряд по степеням константы взаимодействия
D
μν
(q)
=
D
(0)μν
(q)
+
e
2
D
(2)μν
(q)
+ …,
4π
то все величины D(n)μν удовлетворяют условию поперечности:
qμD(n)μν(q)=0, n=2,4,…,
которое эквивалентно соотношению (5.10).
Обобщением калибровочных преобразований (6.3) на случай неабелевой теории являются так называемые преобразования Бекши — Роуета — Стора (БРС) [32, 33]. При этом поля ду́хов, как и все другие поля, подвергаются калибровочным преобразованиям, в результате чего (с точностью до 4-дивергенции) полный лагранжиан квантовой хромодинамики (5.11) становится калибровочно-инвариантным. Такие преобразования приводят к тождествам Славнова [232] — Тейлора [244], представляющим собой аналог тождеств Уорда в квантовой электродинамике. Предполагается, что параметр инфинитезимальных преобразований БРС ε представляет собой не зависящую от пространственно-временной точки x c-числовую величину, антикоммутирующую (коммутирующую) с фермионными (бозонными) полями10b). Инфинитезимальные преобразования БРС определяются в виде
10b При этом ε2=0, εω=-ωε, εq=-qε, εB=-Bε и т.д. Следует помнить, что поля ω являются фермионными и подчиняются статистике Ферми-Дирака, так что справедливо соотношение ωbωc=-ωcωb.
