Г. Дарбу (1879) дал определение интеграла Римана, которое делает особенно наглядными условиями существования такого И. Вместо сумм (3) Дарбу вводит суммы (называемые суммами Дарбу)

где M_k — верхняя грань функции f (x ) на отрезке [x_k—1 ,x_k ], а m_k — нижняя грань f (x ) на том же отрезке. Если

 нижняя грань сумм , а   — верхняя грань сумм , то для существования интеграла Римана необходимо и достаточно условие  Общее значение  величин  и  и является интегралом Римана (6). Сами величины  и  называются верхним и, соответственно, нижним интегралами Дарбу.

  Интеграл Лебега. Введённое Лебегом понятие меры множества позволило дать значительно более широкое определение И. Чтобы определить И. (6), Лебег делит точками

... < y_-2 < y_-1 < y < y_-1 < ... < y_i <...

область возможных значений переменного у = f (x ) и обозначает M_i множество тех точек х из отрезка [a, b ], для которых

y_i—1 £ f (x ) < y_i .

Сумма S определяется равенством

S = S_i h_i m(M_i ),

где h_i берётся из отрезка y_i—1 £ h_i < y_i , а m(M_i ) обозначает меру множества M_i . Функция f (x ) называется интегрируемой в смысле Лебега на отрезке [a , b ], если ряды, определяющие суммы S , абсолютно сходятся при max(y_i — y_i—1 ) ® 0. Предел этих сумм и называется интегралом Лебега (6). Можно определить первообразную в смысле Лебега как функцию F (x ), удовлетворяющую равенству (4), где И. в правой части понимается по Лебегу. Как и в случае интеграла Римана, равенство (7) будет при этом выполняться во всех точках, кроме, может быть, множества, имеющего меру, равную нулю.

  Для интегрируемости по Лебегу ограниченной функции f (x ) необходимо и достаточно, чтобы она принадлежала к числу измеримых функций в смысле Лебега. Все функции, встречающиеся в математическом анализе, измеримы в этом смысле. Более того, до настоящего времени (1972) не построено ни одного индивидуального примера неизмеримой функции. Таким образом, для случая ограниченных функций Лебег решил задачу определения интеграла (6) с общностью, исчерпывающей потребности математического анализа. Среди функций, интегрируемых по Лебегу, имеется сколько угодно функций, всюду разрывных и, следовательно, неинтегрируемых по Риману. Наоборот, каждая интегрируемая по Риману функция интегрируема и по Лебегу.

  Определение Лебега обобщается на случай интегрирования по полупрямой и по полной прямой, т. е. на случай И. вида

После этого обобщения теория Лебега охватывает все случаи абсолютно сходящихся несобственных интегралов .

  Общность, достигнутая в определении Лебега, весьма существенна во многих вопросах математического анализа; например, только с введением интеграла Лебега могла быть установлена теорема Фишера — Риса в теории тригонометрических рядов, в силу которой любой ряд

для которого

представляет функцию f (x ), порождающую коэффициенты a_n и b_n по формулам

где И. понимаются в смысле Лебега.

  Интеграл Стилтьеса. В конце 19 в. определение интеграла Римана подверглось совершенно иному обобщению, чем то, к которому привело введение понятия меры множества. Это обобщение было дано Т. Стилтьесом (1894). Пусть f (x ) — непрерывная функция действительного переменного х , определённая на отрезке [a , b ], и U (x ) — определённая на том же отрезке ограниченная монотонная (неубывающая или невозрастающая) функция. Для определения интеграла Стилтьеса берут произвольное разбиение (2) отрезка [a , b ] и составляют сумму

f (x₁ ) [U (x₁ ) — U (x )] + f (x₂ ) [U (x₂ ) — U (x₁ )] +...+ f (x_n ) [U (x_n ) — U (x_n—1 )],    (8)

где x₁ , x₂ , ..., x_n — произвольные точки, выбранные соответственно на отрезках [x , x₁ ], [x₁ , x₂ ], ..., [x_n—1 , x_n ]. Пусть d — наибольшее расстояние между двумя последовательными точками деления в разбиении (2). Если взять любую последовательность разбиений, для которой d стремится к нулю, то сумма (8) будет иметь определённый, всегда один и тот же предел, как бы ни выбирались точки x₁ , x₂ , ..., x_n на соответствующих отрезках. Этот предел называют, следуя Стилтьесу, интегралом функции f (x ) относительно функции U (x ) и обозначают символом

Интеграл (9) (его называют также интегралом Стилтьеса) существует и в том случае, когда ограниченная функция U (x ), не будучи сама монотонной, может быть представлена в виде суммы или разности двух ограниченных монотонных функций U₁ (x ) и U₂ (x ):

U (x ) = U₁ (x ) — U₂ (x ),

т. е. является функцией с ограниченным изменением (см. Изменение функции ).

  Если интегрирующая функция U (х ) имеет ограниченную и интегрируемую по Риману производную U' (x ), то интеграл Стилтьеса сводится к интегралу Римана по формуле

В частности, когда U (x ) = х + С , интеграл Стилтьеса (9) превращается в обыкновенный интеграл Римана (6).