«Оптические тела», упоминаемые в романе, вероятно, напомнят читателю «оптические решетки», которые в реальном мире применяются исследователями для захвата и изучения атомов при сверхнизких температурах – однако в действительности эти системы существенно отличаются друг от друга. В Ортогональной Вселенной ямы и пики светового электрического поля можно заставить двигаться достаточно медленно, чтобы заряженные частицы оказались заперты в его энергетических ямах и стали двигаться вместе со светом. С помощью комбинации трех световых пучков этому «энергетическому ландшафту» можно придать такую форму, чтобы запертые в ямах частицы были ограничены по всем трем измерениям.

В нашей Вселенной это невозможно: заряженные частицы никогда не смогут угнаться за движущейся световой волной; в условиях же стоячей волны – когда интенсивность света образует в пространстве некую устойчивую картину – электрическое поле продолжает осциллировать во времени – при этом каждая яма превращается в пик, и наоборот, сотни триллионов раз в секунду. Тем не менее, хотя оптическая решетка неспособна поймать запереть заряженные частицы в своем электрическом поле, она может оказывать более тонкие воздействия. Эти воздействия связаны не с направлением электрического поля, а с интенсивностью света, благодаря чему они сохраняют постоянное направление с течением времени и могут использоваться для захвата электрически нейтральных атомов.

Дополнительные материалы к роману можно найти на сайте http://www.gregegan.net.

Путешественники Бесподобной придумали способ умножения и деления четырехмерных векторов, позволяющий построить на их основе полноценную числовую систему, похожую на более знакомые нам вещественные и комплексные числа. В нашей культуре эта система носит название кватернионов и была открыта Уильямом Гамильтоном в 1843 г. Подобно тому, как вещественные числа образуют одномерную прямую, а комплексные числа – двумерную плоскость, кватернионы формируют четырехмерное пространство, что делает их идеальной числовой системой для описания геометрии в четырех измерениях. В нашей Вселенной полноценное использование кватернионов невозможно в силу принципиального отличия между временем и пространством, однако в Ортогональной Вселенной геометрия 4-пространства и арифметика кватернионов органично сочетаются друг с другом.

В том варианте, который применяется жителями Бесподобной, главные направления четырехмерного пространства-времени называются Восток, Север, Верх и Будущее, а соответствующие им противоположные направления – Запад, Юг, Низ и Прошлое. Будущее играет роль единицы: при умножении или делении произвольного вектора на Будущее он не меняется. При возведении в квадрат любого из трех других главных направлений – Восток, Север и Верх – всегда получается Прошлое, или минус единица, поэтому в данной числовой системе существуют три независимых квадратных корня из минус единицы; для сравнения, в системе комплексных чисел такой корень всего один – это i. (Разумеется, что при возведении в квадрат противоположных направлений – Запад, Юг и Низ – также получается Прошлое по аналогии с тем, как в системе комплексных чисел квадрат –i также равен –1, однако эти направления не считаются независимыми квадратными корнями).

Умножение в данной системе не обладает свойством коммутативности: a × b, вообще говоря, не совпадает с b × a.

Каждому ненулевому вектору v соответствует обратный вектор, обозначаемый v^-1, и удовлетворяющий следующему соотношению:

v × v^-1 = v^-1 × v = Будущее

Так, Восток^-1 = Запад, Север^-1 = Юг, Верх^-1 = Низ, а Будущее^-1 = Будущее. В первых трех случаях обратный вектор совпадает с противоположным, но в общем случае это неверно.

Векторное частное w / v определяется как результат умножения (справа) на v^-1 :

Поскольку умножение не обладает свойством коммутативности, при вычислении обратного вектора или частного двух векторов необходимо внимательно следить за порядком аргументов. Обращение произведения двух векторов меняет их порядок на противоположный:

(v × w)^-1 = w^-1× v^-1

Перемена мест сомножителей гарантирует, что исходные векторы будут взяты в надлежащем порядке и дадут в итоге результат, равный Будущему.

(v × w)^-1 × (w^-1× v^-1) = v × Будущее× v^-1 = Будущее

(w^-1× v^-1)× (v × w)^-1 = w^-1 × Будущее× w = Будущее

Аналогичным образом порядок меняется и при делении на произведение векторов:

u / (v × w)= u × (v × w)^-1 = u × w^-1× v^-1 = (u / w)/ v

Хотя в таблицах умножения и деления приведены только результаты для четырех главных векторов, эти операции применимы к любым векторам (исключение составляет деление на нулевой вектор). В общем случае произвольный вектор можно представить в виде суммы векторов, кратных четырем главным направлениям:

v = a ∙ Восток + b ∙ Север + c ∙ Верх + d ∙ Будущее

Здесь a, b, c, d  – вещественные числа, которые могут быть положительными, отрицательными или равными нулю. Определим теперь еще один вектор w, используя другой набор вещественных чисел A, B, C, D:

w = A ∙ Восток + B ∙ Север + C ∙ Верх + D ∙ Будущее

Для умножения v и w мы можем воспользоваться правилами обычной алгебры, принимая во внимание порядок сомножителей:

v × w =

= (a ∙ Восток + b ∙ Север + c ∙ Верх + d ∙ Будущее)× (A ∙ Восток + B ∙ Север + C ∙ Верх + D ∙ Будущее) =

×

= aA∙ Восток × Восток + aB∙ Восток × Север +

+ aC∙ Восток × Верх + aD∙ Восток × Будущее +

+ bA∙ Север × Восток + bB∙ Север × Север +

+ bC∙ Север × Верх + bD∙ Север × Будущее +

+ cA∙ Верх × Восток + cB∙ Верх × Север +

+ cC∙ Верх × Верх + cD∙ Верх × Будущее +

+ dA∙ Будущее × Восток + dB∙ Будущее × Север +

+ dC∙ Будущее × Верх + dD∙ Будущее × Будущее =

= (aD + bC – cB + dA) ∙ Восток +

+ (–aC + bD + cA + dB) ∙ Север +

+ (aB – bA + cD + dC) ∙ Верх +

+ (–aA — bB – cC + dD) ∙ Будущее

Длину вектора можно определить с помощью четырехмерного аналога теоремы Пифагора. Для обозначения длины вектора v мы будем использовать запись |v|. Через компоненты четырех главных направлений она выражается следующим образом:

|v|² = a² + b² + c² + d²

При умножении двух векторов длина их произведения совпадает с произведением длин сомножителей:

|v × w| = |v||w|

Для заданного вектора v часто полезным оказывается понятие сопряженного вектора, который мы будем обозначать v^* и определять как вектор, компоненты которого по трем пространственным направлениям противоположны соответствующим компонентам v, а временная компонента совпадает с временной компонентой v: