С помощью такой системы мы можем, следовательно, определить распределение электричества для следующих случаев:
1) На проводнике 𝑃𝐷𝑄𝐷', образуемом большими сегментами обеих сфер. Потенциал проводника равен единице, а заряд равен
α+β
-
αβ
√α²+β²
=
𝐴𝐷
+
𝐵𝐷
-
𝐶𝐷
.
Это же выражение является, следовательно, и мерой ёмкости такого проводника, когда он свободен от индуктивного действия других тел.
Плотность в произвольной точке 𝑃 сферы с центром в 𝐴 и в произвольной точке 𝑂 сферы с центром в 𝐵 равны соответственно
1
4πα
⎛
⎜
⎝
1
-
⎛
⎜
⎝
β
𝐵𝑃
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
и
1
4πβ
⎛
⎜
⎝
1
-
⎛
⎜
⎝
α
𝐴𝑄
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
.
На окружности пересечения плотность равна нулю.
Если одна из сфер намного больше другой, то плотность в вершине меньшей сферы в пределе втрое больше плотности в вершине большей сферы.
2) На линзе 𝑃'𝐷𝑄'𝐷', образуемой обоими меньшими сегментами сфер, заряженной количеством электричества =-αβ/√α²+β², находящейся под воздействием точек 𝐴 и 𝐵, несущих заряды α и β, и имеющей единичный потенциал. Плотность в произвольной точке выражается той же формулой.
3) На мениске 𝑃𝐷𝐷'𝑄' с зарядом 𝐵, подверженном воздействию точек 𝐵 и 𝐶, несущих соответственно заряды β и -αβ/√α²+β² и тоже находящемся в равновесии при единичном потенциале.
4) На другом мениске 𝑄𝐷𝑃'𝑄' с зарядом β, находящемся под воздействием точечных зарядов в 𝐴 и 𝐶.
Мы можем также найти распределение электричества на следующих внутренних поверхностях:
- полая линза 𝑃'𝐷𝑄'𝐷' под действием расположенного внутри точечного заряда 𝐶 в центре окружности 𝐷𝐷';
- полый мениск под действием точечного заряда в центре вогнутой поверхности;
- полость, образуемая двумя большими сегментами обеих сфер под действием трёх точечных зарядов 𝐴, 𝐵, 𝐶.
Однако вместо того, чтобы расписывать решения для этих случаев, мы применим принцип электрических изображений для определения плотности электричества, наводимой в точке 𝑃 внешней поверхности проводника 𝑃𝐷𝑄𝐷' под действием единичного точечного заряда, находящегося в точке 𝑂.
Пусть
𝑂𝐴
=
𝑎
,
𝑂𝐵
=
𝑏
,
𝑂𝑃
=
𝑟
,
𝐵𝑃
=
𝑝
,
𝐴𝐷
=
α
,
𝐵𝐷
=
β
,
𝐴𝐵
=
√
α²+β²
.
Произведём инверсию системы по отношению к сфере единичного радиуса с центром в точке 𝑂.
Обе сферы останутся сферами, пересекающимися под прямым углом, с центрами, расположенными на тех же радиусах, что 𝐴 и 𝐵.
Если обозначить величины, относящиеся к инвертированной системе, штрихом, то
𝐴'
=
𝐴
𝐴²-α²
,
𝐵'
=
𝐵
𝐵²-β²
,
α'
=
α
𝐴²-α²
,
β'
=
β
𝐵²-α²
,
𝑟'
=
1
𝑟
,
𝑝'²
=
β²𝑟²+(𝑏²-β²)(𝑝²-β²)
𝑟²(𝑏²-β²)²
.
Если в инвертированной системе потенциал поверхности равен единице, то плотность заряда в точке 𝑃' равна
σ'
=
1
4πα'
⎛
⎜
⎝
1
-
⎛
⎜
⎝
β'
𝑝'
⎞³
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
.
Если в первоначальной системе плотность в точке 𝑃 равна σ, то (σ/σ')=(1/𝑟³), а потенциал равен 1/𝑟. При помещении в точку 𝑂 отрицательного единичного электрического заряда потенциал обращается в нуль на первоначальной поверхности, а плотность в точке 𝑃 становится равной
σ
=
1
4π
𝑎²-α²
α𝑟³
⎛
⎜
⎝
1
-
β³𝑟³
(β²𝑟²+(𝑏²-β²)(𝑝²-β²))3/2
⎞
⎟
⎠
Это выражение даёт распределение электричества на одном из сферических сегментов под воздействием заряда в точке 𝑂. Распределение электричества на другом сферическом сегменте может быть найдено перестановкой 𝑎 и 𝑏, α и β и заменой 𝑝 на 𝑞 или 𝐴𝑄
Для нахождения полного заряда, наводимого на проводнике точечным зарядом 𝑂, рассмотрим инвертированную систему.
В инвертированной системе мы имеем заряд α' в 𝐴', β' в 𝐵' и отрицательный заряд α'β'/√α²+β² в точке 𝐶', расположенной на прямой 𝐴'𝐵' так, что
𝐴'𝐶'
:
𝐶'𝐵'
=
α'²
:
β'²
.
Если 𝑂𝐴'=𝑎', 𝑂𝐵'=𝑏', 𝑂𝐶'=𝑐', то
𝑐'²
=
𝑎'²β'²+𝑏'²α'²-α'²β'²
α'²+β'²
.
Инвертируя эту систему, получим
α'
𝑎'
=
α
𝑎
,
β'
𝑏'
=
β
𝑏
,
и
-
α'β'
√α'²+β'²
1
𝑐'
=
-
αβ
√α²β²+𝑏²α²-α²β²
.
Следовательно, полный заряд на проводнике, обусловленный единичным отрицательным зарядом в 𝑂 равен
α'
𝑎'
+
β
𝑏
-
αβ
√α²β²+𝑏²α²-α²β²
.
Распределение электричества на трёх сферических поверхностях, пересекающихся под прямыми углами
169. Пусть радиусы этих сфер равны α, β и γ Тогда
𝐵𝐶
=
√
β²+γ²
,
𝐶𝐴
=
√
γ²+α²
,
𝐴𝐵
=
√
α²+β²
.
Рис. 13
Пусть 𝑃, 𝑄, 𝑅 на рис. 13 - основания перпендикуляров, опущенных из 𝐴, 𝐵, 𝐶, на противоположные стороны треугольника, а 𝑂 - пересечение этих перпендикуляров. Тогда 𝑃 является изображением 𝐵 в сфере γ, а также изображением 𝐶 в сфере β. Точка 𝑂 также является изображением 𝑃 в сфере α.
Пусть в точки 𝐴, 𝐵 и 𝐶 помещены заряды α, β и γ.
Тогда заряд, который необходимо поместить в точку 𝑃 будет равен
-
βγ
√β²+γ²
=
-
1
.
⎛
⎝
1
+
1
⎞
⎠
½
β²
γ²
Но
𝐴𝑃
=
√β²γ²+γ²α²+α²β²
√β²+γ²
,
так что заряд в точке 𝑂 рассматриваемой как изображение точки 𝑃, равен
αβγ
√β²γ²+γ²α²+α²β²
=
1
,
