Отсюда следует, что Ψ1 - единственная функция от 𝑥, 𝑦, 𝑧, равная Ψ на поверхности и удовлетворяющая уравнению Лапласа внутри поверхности.
Если бы этим условиям удовлетворяла какая-нибудь другая функция Ψ3, то 𝑊3 должно было бы быть меньше любого другого значения 𝑊. Но мы уже показали, что 𝑊1 меньше любого другого значения, а следовательно, и меньше 𝑊3. Следовательно, никакая функция, отличная от Ψ1, не может удовлетворять этим условиям.
Ниже мы увидим, что наиболее часто встречается случай, когда поле ограничено одной внешней поверхностью 𝑠 и некоторым числом внутренних поверхностей 𝑠1, 𝑠2 и т. д., причём принимает нулевое значение на 𝑠 и постоянные на каждой поверхности значения: Ψ1 на 𝑠1, Ψ2 на 𝑠2 и т. д., как для системы проводников с заданными потенциалами.
Из всех функций Ψ, удовлетворяющих этим условиям, 𝑊ψ минимально для той функции, которая для каждой точки в поле удовлетворяет условию ∇²Ψ=0.
Теорема Томсона
Лемма
100 а. Пусть Ψ - произвольная функция 𝑥, 𝑦, 𝑧, конечная и непрерывная внутри замкнутой поверхности 𝑠 и принимающая на некоторых замкнутых поверхностях 𝑠1, 𝑠2, …, 𝑠𝑝, … значения Ψ1, Ψ2, …, Ψ𝑝, …, постоянные на каждой поверхности.
Пусть 𝑢, 𝑣, 𝑤 - функции 𝑥, 𝑦, 𝑧, которые мы можем рассматривать как составляющие вектора ℭ, удовлетворяющего условию соленоидальности
-𝑆.∇ℭ
=
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+
𝑑𝑣
𝑑𝑦
+
𝑑𝑤
𝑑𝑧
=
0.
(28)
Положим в Теореме III
𝑋
=
Ψ𝑢
,
𝑌
=
Ψ𝑣
,
𝑍
=
Ψ𝑤
.
(29)
В результате этих подстановок получим
∑
𝑝
∬
Ψ
𝑝
(
𝑙
𝑝
𝑢
+
𝑚
𝑝
𝑣
+
𝑛
𝑝
𝑤
)
𝑑𝑠
𝑝
+
+
∭
Ψ
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+
𝑑𝑣
𝑑𝑦
+
𝑑𝑤
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
+
+
∭
⎛
⎜
⎝
𝑢
𝑑Ψ
𝑑𝑥
+
𝑣
𝑑Ψ
𝑑𝑦
+
𝑤
𝑑Ψ
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
=
0;
(30)
где поверхностные интегралы берутся по различным поверхностям, объёмные интегралы - по всему полю, а 𝑙𝑝, 𝑚𝑝, 𝑛𝑝 - направляющие косинусы нормали к поверхности 𝑠𝑝 в сторону поля. Первый объёмный интеграл равен нулю вследствие соленоидальности 𝑢, 𝑣, 𝑤, а поверхностные интегралы равны нулю в следующих случаях:
1) если для любой точки поверхности Ψ=0,
2) если для любой точки поверхности 𝑙𝑢 + 𝑚𝑣 + 𝑛𝑤 =0,
3) если поверхность состоит вся из частей, на которых выполняется либо (1), либо (2),
4) если Ψ постоянно на каждой замкнутой поверхности и ∬(𝑙𝑢+𝑚𝑣+𝑛𝑤)𝑑𝑠=0.
В этих четырёх случаях объёмный интеграл
𝑀
=
∭
⎛
⎜
⎝
𝑢
𝑑Ψ
𝑑𝑥
+
𝑣
𝑑Ψ
𝑑𝑦
+
𝑤
𝑑Ψ
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
=
0.
(31)
100 б. Рассмотрим теперь поле, ограниченное замкнутой поверхностью 𝑠 и внутренними замкнутыми поверхностями 𝑠1, 𝑠2, ….
Пусть Ψ - функция 𝑥, 𝑦, 𝑧 конечная и непрерывная в точках поля, удовлетворяющая Уравнению Лапласа
∇²Ψ
=
0.
(32)
имеющая постоянные, но не заданные значения Ψ1, Ψ2, … соответственно на поверхностях 𝑠1, 𝑠2, … и нулевое значение на внешней поверхности 𝑠.
Заряд любой из заряженных поверхностей, скажем 𝑠1, даётся поверхностным интегралом
𝑒
1
=-
1
4π
∬
𝑑Ψ
𝑑ν1
𝑑𝑠
1
,
(33)
где нормаль ν1 направлена от поверхности 𝑠1 в сторону электрического поля.
100 в. Пусть теперь ƒ, 𝑔, 𝘩 - функции 𝑥, 𝑦, 𝑧, которые можно рассматривать как составляющие некоторого вектора 𝔇, удовлетворяющие только тому условию, что в каждой точке поля должно выполняться условие соленоидальности
𝑑ƒ
𝑑𝑥
+
𝑑𝑔
𝑑𝑦
+
𝑑𝘩
𝑑𝑧
=
0,
(34)
и что на каждой из внутренних замкнутых поверхностей, скажем 𝑠1 интеграл типа
∬
(
𝑙
1
ƒ
+
𝑚
1
𝑔
+
𝑛
1
𝘩
)
𝑑𝑠
=
𝑒
1
,
(35)
где 𝑙1, 𝑚1, 𝑛1, - направляющие косинусы нормали ν1 к поверхности 𝑠1, в сторону электрического поля, а 𝑒1 - та же величина, что и в (33), т. е. фактически электрический заряд проводника, ограниченного поверхностью 𝑠1.
Рассмотрим объёмный интеграл
𝑊
𝔇
=
2π
∭
(
ƒ²
+
𝑔²
+
𝘩²
)
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
(36)
по всему полю внутри 𝑠 и вне 𝑠1, 𝑠2, … и сравним его с интегралом
𝑊
Ψ
=
1
8π
∭
⎡
⎢
⎣
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑥
⎞²
⎟
⎠
+
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑦
⎞²
⎟
⎠
+
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑧
⎞²
⎟
⎠
⎤
⎥
⎦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
(37)
по тому же объёму.
Положим
𝑢
=
ƒ
+
1
4π
𝑑Ψ
𝑑𝑥
,
𝑣
=
𝑔
+
1
4π
𝑑Ψ
𝑑𝑦
,
𝑤
=
𝘩
+
1
4π
𝑑Ψ
𝑑𝑧
(38)
и введём
𝑊
ℭ
=
2π
∭
(
𝑢²
+
𝑣²
+
𝑤²
)
𝑑𝑥
