𝑑𝑦
𝑑𝑧
.
(39)
Тогда, поскольку
ƒ²
+
𝑔²
+
𝘩²
=
1
16π²
⎡
⎢
⎣
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑥
⎞²
⎟
⎠
+
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑦
⎞²
⎟
⎠
+
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑧
⎞²
⎟
⎠
⎤
⎥
⎦
+
𝑢²
+
𝑣²
+
𝑤²
-
1
2π
⎡
⎢
⎣
𝑢
𝑑Ψ
𝑑𝑥
+
𝑣
𝑑Ψ
𝑑𝑦
+
𝑤
𝑑Ψ
𝑑𝑧
⎤
⎥
⎦
,
(40)
то
𝑊
𝔇
=
𝑊
Ψ
+
𝑊
ℭ
-
-
∭
⎛
⎜
⎝
𝑢
𝑑Ψ
𝑑𝑥
+
𝑣
𝑑Ψ
𝑑𝑦
+
𝑤
𝑑Ψ
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
.
Но, во-первых, 𝑢, 𝑣, 𝑤, удовлетворяют условию соленоидальности в любой точке поля, поскольку, согласно (38),
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+
𝑑𝑣
𝑑𝑦
+
𝑑𝑤
𝑑𝑧
=
𝑑ƒ
𝑑𝑥
+
𝑑𝑔
𝑑𝑦
+
𝑑𝘩
𝑑𝑧
-
1
4π
∇²Ψ
,
(41)
a no (34) и (32) оба слагаемых правой части (41) равны нулю.
Во-вторых, имеет место равенство
∬
(
𝑙
1
𝑢
+
𝑚
1
𝑣
+
𝑛
1
𝑤
)
𝑑𝑠
1
=
=
∬
(
𝑙
1
ƒ
+
𝑚
1
𝑔
+
𝑛
1
𝘩
)
𝑑𝑠
1
+
1
4π
∬
𝑑Ψ
𝑑ν1
𝑑𝑠
1
.
(42)
Но согласно (35) первое слагаемое справа равно 𝑒1, а согласно (33) второе слагаемое справа равно -𝑒1, так что
∬
(
𝑙
1
𝑢
+
𝑚
1
𝑣
+
𝑛
1
𝑤
)
𝑑𝑠
1
=
0.
(43)
Таким образом, так как Ψ1 постоянно, выполняется четвёртое условие п. 100 а, так что последнее слагаемое в правой части (40) равно нулю и уравнение сводится к
𝑊
𝔇
=
𝑊
Ψ
+
𝑊
ℭ
.
(44)
Далее, подынтегральное выражение в 𝑊ℭ является суммой трёх квадратов 𝑢²+𝑣²+𝑤² и, следовательно, либо положительно, либо равно нулю. Если хоть в одной точке в поле 𝑢, 𝑣, и 𝑤 не равны одновременно нулю, то интеграл 𝑊ℭ положителен, так что 𝑊𝔇 больше 𝑊Ψ. Но и значения 𝑢=𝑣=𝑤=0 во всех точках этим условиям удовлетворяют.
Таким образом, если в каждой точке
ƒ
=
-
1
4π
𝑑Ψ
𝑑𝑥
,
𝑔
=
-
1
4π
𝑑Ψ
𝑑𝑦
,
𝘩
=
-
1
4π
𝑑Ψ
𝑑𝑧
,
(45)
то
𝑊
𝔇
=
𝑊
Ψ
(46)
и величина для этих значений ƒ, 𝑔, 𝘩 меньше, чем для любых других значений ƒ, 𝑔, 𝘩.
Итак, задача определения смещения и потенциала в каждой точке поля при заданных зарядах на каждом проводнике имеет одно и только одно решение.
Эта теорема в одном из более общих вариантов была впервые установлена сэром У. Томсоном 5. Ниже мы укажем возможные обобщения теоремы.
5Cambridge and Dublin Mathematical Journal, February, 1848.
100 г. Можно видоизменить эту теорему, предположив, что вектор 𝔇 не соленоидальный в каждой точке, а удовлетворяет условию
𝑑ƒ
𝑑𝑥
+
𝑑𝑔
𝑑𝑦
+
𝑑𝘩
𝑑𝑧
=
ρ,
(47)
где ρ - конечная функция, значение которой задано в каждой точке поля; она может быть положительной и отрицательной, непрерывной и разрывной, но интеграл от неё по конечному объёму должен быть конечен.
Можно также предположить, что на некоторых поверхностях, расположенных в поле, имеет место соотношение
𝑙ƒ
+
𝑚𝑔
+
𝑛𝘩
+
𝑙'ƒ'
+
𝑚'𝑔'
+
𝑛'𝘩'
=
σ,
(48)
где 𝑙, 𝑚, 𝑛 и 𝑙', 𝑚', 𝑛' - направляющие косинусы нормалей из точки поверхности в области, где составляющие смещения равны соответственно ƒ, 𝑔, 𝘩 и ƒ', 𝑔', 𝘩' а σ - величина, заданная во всех точках поверхности, интеграл от которой по конечной поверхности конечен.
100 д. Можно также изменить условие на граничных поверхностях, приняв, что в каждой точке этих поверхностей
𝑙ƒ
+
𝑚𝑔
+
𝑛𝘩
=
σ,
(49)
где σ задано во всех точках.
(В первоначальной формулировке теоремы мы считали заданным лишь интеграл от σ по каждой из поверхностей. Здесь мы считаем заданным значение σ на каждом элементе. Это всё равно, что рассматривать в первоначальной формулировке теоремы каждый элемент как отдельную поверхность.)
Во всех этих модификациях теорема остаётся справедливой, если только помнить, что Ψ должно удовлетворять соответствующим условиям, т.е. общему условию
𝑑²Ψ
𝑑𝑥
+
𝑑²Ψ
𝑑𝑦
+
𝑑²Ψ
𝑑𝑧
+
4πρ
=
0
(50)
и условию на поверхности
𝑑Ψ
𝑑ν
+
𝑑Ψ'
𝑑ν'
+
4πσ
=
0
(51)
Действительно, положив, как ранее,
ƒ
+
1
4π
𝑑Ψ
𝑑𝑥
=
𝑢,
𝑔
+
1
4π
𝑑Ψ
𝑑𝑦
=
𝑣,
𝘩
+
1
4π
𝑑Ψ
𝑑𝑧
=
𝑤,
