получим, что 𝑢, 𝑣, 𝑤 удовлетворяют общему условию соленоидальности
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+
𝑑𝑣
𝑑𝑦
+
𝑑𝑤
𝑑𝑧
=
0,
условию на поверхности
𝑙𝑢
+
𝑚𝑣
+
𝑛𝑤
+
𝑙'𝑢'
+
𝑚'𝑣'
+
𝑛'𝑤'
=
0
и условию на граничной поверхности
𝑙𝑢
+
𝑚𝑣
+
𝑛𝑤
=
0
откуда опять следует, что
𝑀
=
∭
⎛
⎜
⎝
𝑢
𝑑Ψ
𝑑𝑥
+
𝑣
𝑑Ψ
𝑑𝑦
+
𝑤
𝑑Ψ
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
=
0.
и
𝑊
𝔇
=
𝑊
Ψ
+
𝑊
ℭ
.
Как и прежде, показывается, что 𝑊𝔇 имеет единственный минимум при 𝑊ℭ, что означает равенство нулю 𝑢² + 𝑣² + 𝑤² во всех точках, так что
ƒ
=-
1
4π
𝑑Ψ
𝑑𝑥
,
𝑔
=-
1
4π
𝑑Ψ
𝑑𝑦
,
𝘩
=-
1
4π
𝑑Ψ
𝑑𝑧
101 а. В нашем доказательстве этих теорем мы до сих пор ограничивались той теорией электричества, которая считает свойства электрических систем зависящими от формы и относительного расположения проводников и их зарядов, но никак не учитывает природы диэлектрической среды, находящейся между проводниками.
Согласно этой теории, существует, например, неизменное соотношение между поверхностной плотностью на проводнике и электродвижущей напряжённостью вне проводника у самой поверхности, даваемое законом Кулона: 𝑅=4πσ.
Но это верно только для эталонной среды, за которую можно принять воздух. В других средах соотношение будет иным, как показал экспериментально, хотя и не опубликовал, Кавендиш, а затем независимо вновь открыл Фарадей.
Для полного описания этого явления мы нашли необходимым рассмотреть две векторные величины, соотношение между которыми в разных средах различно. Одна - это электродвижущая напряжённость, другая - электрическое смещение. Электродвижущая напряжённость связана соотношением неизменного вида с потенциалом, электрическое смещение связано соотношением неизменного вида с распределением заряда, но соотношение между электродвижущей напряжённостью и электрическим смещением зависит от природы диэлектрической среды и должно выражаться уравнениями, наиболее общая форма которых до сих пор ещё полностью не установлена и может быть установлена лишь в результате опытов с диэлектриками.
101 б. Электродвижущая напряжённость - вектор, определённый в п. 68 как отношение механической силы, действующей на малый заряд, к величине этого заряда 𝑒. Её составляющие мы обозначим через 𝑃, 𝑄, 𝑅, а сам вектор - через 𝔈.
В электростатике криволинейный интеграл от 𝔈 всегда не зависит от пути интегрирования, т. е., иными словами, 𝔈 является пространственной вариацией потенциала. Таким образом, 𝑃=-𝑑Ψ/𝑑𝑥, 𝑄=-𝑑Ψ/𝑑𝑦, 𝑅=-𝑑Ψ/𝑑𝑧, или, короче, пользуясь Кватернионными обозначениями, 𝔈=-∇Ψ.
101 в. Составляющая электрического смещения в каком-либо направлении определена в п. 60 как отношение количества электричества, прошедшего через небольшую площадку 𝐴 плоскость которой перпендикулярна рассматриваемому направлению, к величине площадки 𝐴. Мы обозначим прямоугольные составляющие электрического смещения буквами ƒ, 𝑔, 𝘩, а сам вектор - буквой 𝔇.
Объёмная плотность в каждой точке определяется уравнением
ρ
=
𝑑ƒ
𝑑𝑥
+
𝑑𝑔
𝑑𝑦
+
𝑑𝘩
𝑑𝑧
,
или в Кватернионных обозначениях ρ=-𝑆.∇𝔇.
Поверхностная плотность в любой точке заряженной поверхности определяется соотношением
σ
=
𝑙ƒ
+
𝑚𝑔
+
𝑛𝘩
+
𝑙'ƒ'
+
𝑚'𝑔'
+
𝑛'𝘩'
,
где ƒ, 𝑔, 𝘩, - составляющие смещения на одной стороне поверхности, а 𝑙, 𝑚, 𝑛 - направляющие косинусы нормали к поверхности в эту сторону; соответственно ƒ', 𝑔', 𝘩' и 𝑙', 𝑚', 𝑛' - составляющие смещения и направляющие косинусы нормали для другой стороны.
В Кватернионных обозначениях это уравнение примет вид
σ
=
-[
𝑆.𝑈ν𝔇
+
𝑆.𝑈ν'𝔇'
],
где 𝑈ν, 𝑈ν', -единичные нормали с обеих сторон поверхности, a 𝑆 указывает на то, что берётся скалярная часть произведения.
Для поверхности проводника, обозначая через v внешнюю нормаль и учитывая, что ƒ', 𝑔', 𝘩' и 𝔇' равны нулю, это уравнение сводится к виду
σ
=
𝑙ƒ
+
𝑚𝑔
+
𝑛𝘩
=
-𝑆.𝑈ν𝔇
.
Таким образом, полный заряд проводника равен
σ
=
∬
(
𝑙ƒ
+
𝑚𝑔
+
𝑛𝘩
)
𝑑𝑠
=
-
∬
𝑆.𝑈ν𝔇
𝑑𝑠
.
101 г. Как показано в п. 84, электрическая энергия системы равна полусумме произведений зарядов на соответствующие потенциалы. Обозначая её через 𝑉 получим
𝑊
=
1
2
∑
(𝑒Ψ)
=
1
2
∭
ρΨ
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
+
1
2
∬
σΨ
𝑑𝑠
=
=
1
2
∭
Ψ
⎛
⎜
⎝
𝑑ƒ
𝑑𝑥
+
𝑑𝑔
𝑑𝑦
+
𝑑𝘩
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
+
+
1
2
∬
Ψ
(
𝑙ƒ
+
𝑚𝑔
+
𝑛𝘩
)
𝑑𝑠
,
где объёмный интеграл берётся по всему электрическому полю, а поверхностный - по поверхностям проводников.
Полагая в Теореме III, п. 21, 𝑋=Ψƒ, 𝑌=Ψ𝑔, 𝑍=Ψ𝘩, получим
∬
Ψ
(
𝑙ƒ
+
𝑚𝑔
+
𝑛𝘩
)
𝑑𝑠
=-
∭
Ψ
⎛
⎜
⎝
𝑑ƒ
𝑑𝑥
+
𝑑𝑔
𝑑𝑦
+
𝑑𝘩
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
-
-
∭
⎛
⎜
⎝
ƒ
𝑑Ψ
𝑑𝑥
+
𝑔
𝑑Ψ
𝑑𝑦
+
𝘩
𝑑Ψ
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
,
где 𝑙, 𝑚, 𝑛 - направляющие косинусы нормали к поверхности в сторону поля.
Подставляя это значение поверхностного интеграла в 𝑊 получим
𝑊
=-
1
2
∭
⎛
⎜
⎝
ƒ
𝑑Ψ
𝑑𝑥
+
𝑔
𝑑Ψ
𝑑𝑦
+
𝘩
𝑑Ψ
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
,
или
𝑊
=
1
2
∭
(
ƒ𝑃
