Если в исходной системе некоторая поверхность была поверхностью проводника, так что потенциал на ней был постоянен и равен 𝑃 то в преобразованной системе на изображении поверхности будет потенциал 𝑃𝑅/𝑟'. Но если поместить в центре инверсии 𝑂 количество электричества - 𝑃𝑅, то потенциал преобразованной поверхности станет равным нулю.

Следовательно, если известно распределение электричества на изолированном проводнике в свободном пространстве, заряженном до потенциала 𝑃, то можно с помощью инверсии найти распределение на заземлённом проводнике, являющемся изображением исходного проводника, устанавливающееся под влиянием точечного заряда -𝑃𝑅, помещённого в центр инверсии.

163. При исследовании различных случаев инверсии полезны следующие геометрические теоремы.

Каждая сфера переходит при инверсии в сферу, если только она не проходит через центр инверсии. В последнем случае она переходит в плоскость.

Если расстояния центров этих двух сфер от центра инверсии обозначить через 𝑎 и 𝑎', их радиусы - через α и α' и определить показатель (power) сферы по отношению к центру инверсии как произведение отрезков, отсекаемых сферой на линии, проходящей через центр инверсии, то для первой сферы показатель равен 𝑎²-α², а для второй - 𝑎'²-α'². При этом

𝑎'

𝑎

=

α'

α

=

𝑅²

𝑎²-α²

=

𝑎'²-α'²

𝑅²

,

(19)

т.е. отношение расстояний центров первой и второй сферы от центра инверсии равно отношению их радиусов, отношению показателя сферы инверсии к показателю первой сферы и отношению показателя второй сферы к показателю сферы инверсии.

Изображение центра инверсии по отношению к одной из сфер является точкой инверсии центра другой сферы.

В случае, когда инверсными поверхностями являются плоскость и сфера, перпендикуляр из центра инверсии на плоскость относится к радиусу инверсии как этот радиус относится к диаметру сферы, центр сферы расположен на этом перпендикуляре, а сама сфера проходит через центр инверсии.

Любая окружность инвертируется в окружность, если только она не проходит через центр инверсии. В этом случае она инвертируется в прямую.

Углы между двумя пересекающимися поверхностями или линиями не меняются при инверсии.

Любая окружность, проходящая через некоторую точку и через её изображение в сфере, пересекает эту сферу под прямыми углами.

Следовательно, любая окружность, проходящая через некоторую точку и пересекающая сферу инверсии под прямыми углами, проходит и через изображение этой точки.

164. Метод инверсии можно применить для определения распределения электричества на заземлённой сфере под действием точечного заряда, исходя из однородного распределения на изолированной сфере в отсутствие других тел.

Если точечный заряд находится в точке 𝐴 то примем её за центр инверсии, тогда для сферы радиуса 𝑎 центр которой находится на расстоянии ƒ от точки 𝐴, инвертированной фигурой будет сфера радиуса 𝑎' с центром на расстоянии ƒ', где

𝑎'

𝑎

=

ƒ'

ƒ

=

𝑅²

ƒ²-𝑎²

.

(20)

Центр каждой из этих сфер совпадает с инверсной точкой для 𝐴 относительно другой сферы, т. е. если 𝐶 - центр, а 𝐵 - инверсная точка первой сферы, то 𝐶' - инверсная точка, а 𝐵' - центр второй сферы.

Пусть теперь 𝑒 - количество электричества, сообщённое второй сфере, на которую не действуют внешние силы. Оно распределится равномерно по сфере с поверхностной плотностью

σ'

=

𝑒'

4π𝑎'²

.

(21)

Действие его в любой точке вне сферы точно такое же, как действие заряда 𝑒', помещённого в центре сферы 𝐵'.

На самой сферической поверхности и внутри неё потенциал равен постоянной величине

𝑃'

=

𝑒'

𝑎'

,

(22)

Произведём теперь инверсию этой системы. Центр 𝐵' переходит в инвертированной системе в инверсную точку 𝐵, заряд 𝑒' в точке 𝐵' переходит в 𝑒'𝑅/ƒ' в точке 𝐵 и во всех точках, отделённых от точки 𝐵 сферической поверхностью, потенциал равен потенциалу от заряда в точке 𝐵.

Потенциал в любой точке 𝑃, находящейся на сферической поверхности или по ту же сторону от неё, что и точка 𝐵, равен в инвертированной системе (𝑒'/𝑎')×(𝑅/𝐴𝑃).

Если теперь добавить к этой системе заряд 𝑒 в точке 𝐴, равный

𝑒

=

-

𝑒'

𝑎'

𝑃

,

(23)

то потенциал на сферической поверхности и во всех точках, расположенных по ту же сторону от неё, что и точка 𝐵, станет равным нулю. Во всех точках, расположенных с той стороны, где находится точка 𝐴, потенциал будет равен потенциалу от заряда 𝑒 в точке 𝐴 и заряда 𝑒'𝑃/ƒ' в точке 𝐵.

Но

𝑒'

𝑃

ƒ'

=

-𝑒

𝑎'

ƒ

=

-𝑒

𝑎

ƒ

,

(24)

как мы видели раньше для заряда изображения в точке 𝐵.

Для нахождения плотности в каждой точке первой поверхности имеем

σ

=

σ'

𝑅³

𝐴𝑃³

.

(25)

Подставляя выражение σ' через характеристики первой сферы, получим то же значение, что и в п. 158:

σ

=

-

𝑒(ƒ²-𝑎²)

4π𝑎⋅𝐴𝑃²

.

(26)

О конечных системах последовательных изображений

165. Если две проводящие плоскости пересекаются под углом, являющимся целым делителем двух прямых углов, то получается конечная система изображений, полностью определяющая электризацию.

Действительно, пусть 𝐴𝑂𝐵 - сечение двух проводящих плоскостей, перпендикулярное линии их пересечения, пусть угол пересечения 𝐴𝑂𝐵=π/𝑛, а 𝑃 - точечный заряд. Тогда, построив окружность с центром в точке 𝑂 радиусом 𝑂𝑃 и найдя точки, являющиеся последовательными изображениями точки 𝑃 в обеих плоскостях, начиная с изображения в 𝑂𝐵, мы найдём изображение 𝑄₁ точки 𝑃 в 𝑂𝐵, изображение 𝑃₂ точки 𝑄₁ в 𝑂𝐴, изображение 𝑄₃ точки 𝑃₂ в 𝑂𝐵, изображение 𝑃₃ точки 𝑄₃ в 𝑂𝐴, изображение 𝑄₂ точки 𝑃₃ в 𝑂𝐵 и так далее. Если бы мы начали с изображения 𝑃 в 𝐴𝑂, то получили бы те же точки в обратной последовательности - 𝑄₂, 𝑅₃, 𝑄₃, 𝑅₂, 𝑄₁, если только 𝐴𝑂𝐵 является целым делителем двух прямых углов [рис. 10].

Рис. 10

Заданный точечный заряд и получающиеся через раз изображения 𝑃₂, 𝑃₃ расположены по окружности на угловом расстонии 2𝐴𝑂𝐵 друг от друга, промежуточные изображения 𝑄₁, 𝑄₂, 𝑄₃ находятся на таких же расстояниях друг от друга. Таким образом, если 2𝐴𝑂𝐵 является целым делителем 2π, то получится конечная система изображений, причём ни одно из них не попадёт внутрь угла 𝐴𝑂𝐵. Если же 𝐴𝑂𝐵 не является целым делителем π, то истинное распределение электричества не может быть представлено конечным набором точечных зарядов.

Если 𝐴𝑂𝐵=π/𝑛, то будет 𝑛 отрицательных изображений 𝑄₁, 𝑄₂ и т. д., равных по величине и противоположных по знаку заряду 𝑄, и 𝑛-1 положительных изображений 𝑃₂, 𝑃₃ и т. д., равных 𝑃 по величине и по знаку.