Равновесная точка является неустойчивой: при сближении тел появляется притяжение, при удалении - отталкивание.

Если точечный заряд находится внутри сферы, действующая на него сила всегда направлена от центра сферы и равна 𝑒²𝑎ƒ/(𝑎²-ƒ²)².

Для точечного заряда, расположенного вне сферы, поверхностная плотность заряда в точке сферы, ближайшей к точечному заряду, равна

σ

₁

=

1

4π𝑎²

⎧

⎨

⎩

𝑉𝑎

-

𝑒

𝑎(ƒ+𝑎)

(ƒ-𝑎)²

⎫

⎬

⎭

=

1

4π𝑎²

⎧

⎨

⎩

𝐸

-

𝑒

𝑎²(3ƒ-𝑎)

ƒ(ƒ-𝑎)²

⎫

⎬

⎭

,

(12)

а в самой удалённой точке

σ

₂

=

1

4π𝑎²

⎧

⎨

⎩

𝑉𝑎

-

𝑒

𝑎(ƒ-𝑎)

(ƒ+𝑎)²

⎫

⎬

⎭

=

1

4π𝑎²

⎧

⎨

⎩

𝐸

+

𝑒

𝑎²(3ƒ+𝑎)

ƒ(ƒ+𝑎)²

⎫

⎬

⎭

.

(13)

Если величина заряда 𝐸 сферы заключена в пределах

𝑒

𝑎²(3ƒ-𝑎)

ƒ(ƒ-𝑎)²

 и

𝑒

𝑎²(3ƒ+𝑎)

ƒ(ƒ+𝑎)²

то электризация сферы отрицательна вблизи точечного заряда и положительна с противоположной стороны. Существует некоторая окружность, разделяющая области с положительной и отрицательной электризацией. Эта окружность является линией равновесия.

При

𝐸

=

𝑒𝑎

⎛

⎜

⎝

1

√ƒ²-𝑎² 

-

1

ƒ

⎞

⎟

⎠

(14)

эквипотенциальная поверхность, пересекающая сферу по линии равновесия, является сферой с центром в месте нахождения точечного заряда и радиусом √ƒ²-𝑎².

Силовые линии и эквипотенциальные поверхности для этого случая показаны на рис. IV в конце этого тома.

Изображения в бесконечной проводящей плоскости

161. Если два точечных заряда 𝐴 и 𝐵, рассматривавшихся в п. 156, равны по величине и противоположны по знаку, то поверхность нулевого потенциала является плоскостью, каждая точка которой находится на равном расстоянии от точек 𝐴 и 𝐵 [рис. 8].

Рис. 8

Следовательно, если в точке 𝐴 находится точечный заряд 𝑒, a 𝐴𝐷 - перпендикуляр к плоскости, то, продолжив 𝐴𝐷 до точки 𝐵 так, что 𝐷𝐵=𝐴𝐷, и поместив в точку 𝐵 заряд -𝑒, мы получим изображение точки 𝐴, вызывающее во всех дочках, расположенных по ту же сторону от плоскости, что и точка 𝐴, точно такое же действие, что и действительная электризация плоскости. В самом деле, потенциал обусловленный точками 𝐴 и 𝐵, удовлетворяет на стороне, где находится точка 𝐴, условию ∇²𝑉=0 во всех точках, кроме точки 𝐴, и равен нулю на плоскости, а существует лишь одна функция 𝑉, удовлетворяющая этим условиям.

Чтобы найти результирующую силу в точке 𝑃 плоскости, заметим, что она складывается из двух слагаемых, равных 𝑒/(𝐴𝑃²) причём одно действует вдоль 𝐴𝑃 а второе - вдоль 𝑃𝐵.

Таким образом, результирующая сила направлена параллельно 𝐴𝐵 и равна

𝑒

𝐴𝑃²

⋅

𝐴𝐵

𝐴𝑃

.

Итак, сила, отсчитываемая наружу от поверхности в сторону точки 𝐴, равна

𝑅

=

-

2𝑒𝐴𝐷

𝐴𝑃³

(15)

а плотность заряда в точке 𝑃 равна

σ

=

-

𝑒𝐴𝐷

2π𝐴𝑃³

(16)

Об электрической инверсии

162. Метод электрических изображений непосредственно приводит к методу преобразования, позволяющему для любой электрической задачи, решение которой мы знаем, построить сколько угодно других задач и их решений.

Мы видели, что изображение точки, находящейся на расстоянии 𝑟 от центра сферы радиуса 𝑅, находится на том же самом радиусе на расстоянии 𝑟', таком, что 𝑟𝑟'=𝑅². Таким образом, изображение системы точек, линий, поверхностей получается из исходной системы чисто геометрическим методом, известным под названием метода инверсии и описанного Шалем, (Chasles), Сальмоном (Salmon) и другими математиками.

Если 𝐴 и 𝐵 - две точки, 𝐴' и 𝐵' - их изображения [рис. 9], 𝑂 - центр инверсии, a 𝑅 - радиус сферы инверсии, то

𝑂𝐴

⋅

𝑂𝐴'

=

𝑅²

=

𝑂𝐵

⋅

𝑂𝐵'

.

Следовательно, треугольники 𝑂𝐴𝐵 и 𝑂𝐴'𝐵' подобны и 𝐴𝐵:𝐴'𝐵'=𝑂𝐴:𝑂𝐵'=𝑂𝐴⋅𝑂𝐵/𝑅²

Рис. 9

Если количество электричества 𝑒 поместить в точку 𝐴, то его потенциал в точке 𝐵 будет 𝑉=𝑒/𝐴𝐵.

Если в точку 𝐴' поместить количество электричества 𝑒', то его потенциал в точке 𝐵' будет 𝑉'=𝑒'/𝐴'𝐵'.

В теории электрических изображений 𝑒:𝑒'=𝑂𝐴:𝑅=𝑅:𝑂𝐴', так что

𝑉:𝑉'

=

𝑅:𝑂𝐵

,

(17)

т.е. потенциал в точке 𝐵, создаваемый зарядом в точке 𝐴, относится к потенциалу в изображении точки 𝐵 от электрического изображения точки 𝐴, как 𝑅 к 𝑂𝐵.

Поскольку это отношение зависит лишь от 𝑂𝐵 и не зависит от 𝑂𝐴, потенциал в точке 𝐵 от произвольной системы заряженных тел относится к потенциалу в точке 𝐵' от изображения этой системы, как 𝑅 к 𝑂𝐵.

Пусть 𝑟 - расстояние произвольной точки 𝐴 от центра, 𝑟' - расстояние его изображения 𝐴' от центра, 𝑒 - электризация точки 𝐴, 𝑒' -электризация точки 𝐴'; 𝐿, 𝑆, 𝐾 - элементы длины, поверхности и объёма у точки 𝐴; 𝐿', 𝑆', 𝐾' - их изображения у точки 𝐴'; λ, σ, ρ, λ', σ', ρ', - соответствующие линейные, поверхностные и объёмные плотности электризации в этих двух точках, 𝑉 - потенциал в точке 𝐴, создаваемый исходной системой, а 𝑉' - потенциал в точке 𝐴', создаваемый инверсной системой. Тогда

𝑟'

𝑝

=

𝐿'

𝐿

=

𝑅²

𝑟²

=

𝑟'²

𝑅²

,

𝑆'

𝑆

=

𝑅⁴

𝑟⁴

=

𝑟'⁴

𝑅⁴

,

𝐾'

𝐾

=

𝑅⁶

𝑟⁶

=

𝑟'⁶

𝑅⁶

,

𝑒'

𝑒

=

𝑅

𝑟

=

𝑟'

𝑅

,

λ'

λ

=

𝑟

𝑅

=

𝑅

𝑟'

,

σ'

σ

=

𝑟³

𝑅³

=

𝑅³

𝑟'³

,

ρ'

ρ

=

𝑟⁵

𝑅⁵

=

𝑅⁵

𝑟'⁵

,

𝑉'

𝑉

=

𝑟

𝑅

=

𝑅

𝑟'

.

(18)

¹

¹ См. «Natural Philosophy» Томсона и Тэта, § 515.